Физика элементарных частиц и атомного ядра. Том 17 - Боголюбов Н.Н.
Скачать (прямая ссылка):
проникновения в физическую суть задачи для выбора наиболее подходящего из
них.
Расчет коэффициентов разложения {а;} таблично заданной функции (i'1*} по
ортонормированному базису {bj} не требует обращения матриц и сводится к
вычислению скалярных произведений
а, = (F, bj). (37)
Как известно, набор коэффициентов {а^} взаимно независим в любом
ортогональном базисе. В работе [53], где используется ортогональный, но
не нормированный базис, справедливо указывается, что применение
эквивалентной формулы
aj = (Fh bj), (38)
где
j-i
Fj = F - 2 аФк1
k=i
приводит к меньшему эффекту накопления погрешностей округления. Это
действительно так, хотя и проявляется менее четко при нормировке базиса.
Формула (38) требует большего объема элементарных
вычислений, чем (37), и, кроме этого, при ее использовании независи-
мость между коэффициентами теряется. К этому методу можно было бы
прибегнуть, когда доподлинно известно, что именно накопление погрешностей
округления является причиной неудовлетворительного качества
аппроксимации. В нашей практической работе по калибровке различных
трековых измерительных систем ортонормиро-ванными полиномами мы не
встречали подобных ситуаций. Всегда можно было использовать более простую
формулу (37) и сохранить независимость коэффициентов разложения.
Полные среднеквадратичные отклонения {Аа;} не зависят от индекса j и
численно равны [35, 49]:
kaj = V%n-j, / = 1, J- (39)
ПРОБЛЕМЫ КАЛИБРОВКИ ИЗМЕРИТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ ЮН
Кстати, величину %n-j можно выразить, не прибегая к суммированию ряда
(24), но этим свойством не следует пользоваться из-за опасности потери
точности при вычитании близких чисел в представлении с плавающей запятой.
Из (24) и (39) при независимых коэффициентах {а/} непосредственно
следует, что точность аппроксимирующей функции AF в любой точке х
выражается как
Af (*) = Ыг-г 2 ЬЦХ)]Ш.
j=l
Опять-таки, ортонормировка базиса {Ь]} обеспечивает простой и надежный
способ оценки AF (я).
В заключение данного раздела можно отметить, что к настоящему времени
преимущества ортонормированных полиномиальных базисов не вызывают
сомнений. Их аппарат достаточно разработан теоретически, технические
детали его алгоритмизации выяснены, а его программная реализация не
представляет серьезных трудностей. Имеющийся опыт эксплуатации программ
полностью подтверждает эти выводы.
3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЦЕНТРОВ КРЕСТОВ
Первый этап статистической обработки данных калибровочных измерений
состоит в распознавании крестов, нахождении центров и погрешностей в их
определении. Эта задача важна для обработки не только калибровочных
измерений, так как реперный крест - это одна из самых массовых фигур на
снимках с трековых камер. Центры реперов необходимы для восстановления
пространственной картины события и для учета возможных дисторсий прибора.
Поэтому центры подлежат особо точному измерению. В этой связи необходимо
учитывать нелинейность измерительных устройств, особенно существенную для
приборов с электронно-лучевым сканированием и в системах бесфильмового
съема данных, где возможны значительные искажения прямолинейности плеч
некоторых крестов и угла между ними [54]. Тем не менее практически во
всех случаях наличие искажений не препятствует выделению прямоугольных
областей примерного расположения каждого из крестов на основе априорных
сведений о самой калибровочной решетке. Таким образом, процедура
распознавания и выделения центров крестов обычно осуществляется в цикле
по всем крестам решетки, где для каждого креста выполняются следующие
пять операций:
а) выделение области расположения всех точек креста и перенесение этой
области в начало координат для упрощения дальнейших вычислений;
б) разбиение всех точек области на классы, относящиеся к двум плёчам
креста, и исключение шумовых точек;
12*
1012 БОГДАНОВА Н. Б., ГАДШОКОВ В., ОСОСКОВ Г. А.
в) аппроксимация каждого из плеч креста;
г) определение координат центра креста как совместное решение
уравнений плеч;
д) вычисление погрешностей координат центров.
Эта схема в основном сохраняется и в случае спирального сканирования,
хотя там есть своя специфика, накладываемая двумя координатными
системами.
Распознавание креста. Операция выделения области, включающей все точки к-
то креста для симметричной решетки, фактически уже была описана в начале
разд. 2. Априорные оценки масштабов
А л
по осям Мхо, Муй, а также коэффициентов переноса XQ, F0 между системами
координат прибора и идеальной системой, связанной с изображением,
позволяют определить преобразование переноса центра этой области в начало
координат:
Mik ^ih ^ik VkQ; i я 1, N,
где t/k0, Ffto определены в (12), i - индекс текущей точки.
Переход в подобную локальную систему декартовых координат выглядит много
сложнее в случае обработки данных спирального сканирования [21], где
границы области в полярной системе координат R, 0 образуют симметричную
трапецию, а переход в локальную декартову систему, даже приблизительный,
