Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Боголюбов Н.Н. -> "Физика элементарных частиц и атомного ядра. Том 17" -> 69

Физика элементарных частиц и атомного ядра. Том 17 - Боголюбов Н.Н.

Боголюбов Н.Н. Физика элементарных частиц и атомного ядра. Том 17 — М.: Энергоатомиздат, 1986. — 257 c.
Скачать (прямая ссылка): fizikaelementarnihchasticiatomnogoyadra1986.djvu
Предыдущая << 1 .. 63 64 65 66 67 68 < 69 > 70 71 72 73 74 75 .. 111 >> Следующая

оценки с весами wt = 1 дает значения начальных
А А
приближений а0, Ъ0 вблизи ложного локального минимума функционала, куда и
"скатываются" оценки параметров при дальнейших итерациях (см. пунктир на
рис. 3). Как показано в [29], этой опасности удается избежать нормировкой
каждого остатка на его собственное среднеквадратичное отклонение 6г,
вычисляемое для пг = 2 как полином второй степени от xt с коэффициентами,
найденными по данным предыдущей итерации. Фактически это означает
усложнение формулы для "бивесов" Тьюки
"'( = [1-№/4а6!)г]2- (22)
Системы полиномов и методы их ортогонализации. В настоящем разделе будут
рассмотрены некоторые свойства линейных метрических пространств, имеющие
отношение к численному построению преобразований калибровки.
Пусть QM - линейное действительное пространство М измерений. Пусть для
любых /, g 6 QM определено скалярное произведение (/, g), удовлетворяющее
известным аксиомам [31]. Тогда QM является метрическим пространством, а
его базис называется ортого-
нальным, если выполняется условие
(Ь" bj) = h\btJ (23)
(6ij - символ Кронекера), и ортонормированным, если все h\ === 1.
По причинам, отмеченным во введении, при аппроксимации калибровочных
зависимостей нас интересуют прежде всего такие пространства QMj элементы
которых являются полиномами от независимых переменных.
Рассмотрим полиномы от п переменных хг, х2, . . ., хп (причем в
физическом пространстве п ^ 3) в качестве элементов действительного
линейного метрического функционального пространства QM. Начнем
рассмотрение в "естественном" полиномиальном базисе, состоящем из
одночленов степеней координат вида x^xl* . . . х]р, чья
Рис. 3. Пример регрессии с резко выпадающей точкой
ПРОБЛЕМЫ КАЛИБРОВКИ ИЗМЕРИТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ 999
общая (суммарная) ступень выражается суммой показателей *i + Ч + • • • +
Когда М - конечно, счетность элементов базиса не вызывает сомнений. При п
= 1 элементы базиса упорядочиваются естественным образом по возрастающим
степеням. Однако, если п > 1, существует несколько линейно-независимых
одночленов одинаковой общей степени (например, при п = 2 имеем одночлены
второй степени х\, ххх% и х\) и степень сама по себе оказывается
недостаточной для введения порядка. Комбинаторные соображения приводят к
выводу [32, 33], что существует всего
(п + й:)!
Вг
п№
линеино-независимых полиномов от п переменных степени не выше к. В этом
случае наиболее часто употребляется так называемый лексикографический
порядок, который вводится следующим образом. Из двух одночленов больший
номер имеет тот, у которого больше общая степень, либо при равенстве -
какая-то ее часть, относящаяся К переменным с более высокими номерами.
Наличие упорядоченного базиса в Qм позволяет рассматривать задачу о
нахождении явного вида преобразования калибровки как разновидность задачи
разложения заданного вектора F по базису
j
F = s а(Ь" (24)
{=1
где J ^ М, {Ь*} - элементы базиса в лексикографическом порядке, а {а*} -
соответствующие (искомые) координаты вектора. Конкретные способы решения
этой задачи зависят в существенной мере от выбора базиса, от определения
его метрики (скалярного произведения) и от критериев оптимальности, на
основе которых определяется длина J разложения (24).
Введенный естественный базис в достаточной мере элементарен и нагляден, а
расчеты в нем не слишком трудоемки при использовании правила Горнера [34]
или его многомерных обобщений. Однако числа обусловленности матриц *,
возникающих в этом базисе, настолько высоки, что его практические
применения ограничены низкими степенями независимых переменных (например,
не более 5-6 при п = = 1) даже в арифметике повышенной точности. Этого
явно недостаточно для большинства задачи калибровки, что и оправдывает
усилия, затрачиваемые на улучшение базиса. С теоретической точки зрения
наилучшим базисом был бы тот, который обеспечивал единичную
обусловленность задачи калибровки. Существование такого базиса доказано
давно [35, 36], а конструктивный характер доказательства очевиден из
неоднократных программных реализаций мето-
* Число или мера обусловленности матриц cond G характеризует погрешность
при обращении матриц. В качестве такой меры для матрицы G обычно
принимают величину || G || || G ||-1 или ^majAmim гДе ^ ~
характеристическое число G [ЗЦ
1000 БОГДАНОВА Н. Б., ГАДЖОКОВ В., ОСОСКОВ Г. А.
да [37-39]. Мы рассмотрим вкратце различные подходы к улучшению свойств
базиса путем его ортогонализации и ортонормировки.
Совокупность скалярных произведений обеих сторон уравнения (24) на
базисные векторы {bt} можно записать в матричном виде как
Gjaj = f Jf (25)
где a j- = col (al5 a2, . . a3), f, = col [(F, bt),
(F, Ьа), . . (F, bj)]t
a Gj есть матрица Грама [40] порядка /, построенная из базисных
векторов. Тогда искомые коэффициенты {аг} выражаются в виде
aj = Gj4j. (26)
Последние два уравнения (25) и (26) делают очевидным факт
непосредственного влияния выбранного базиса на обусловленность задачи
Предыдущая << 1 .. 63 64 65 66 67 68 < 69 > 70 71 72 73 74 75 .. 111 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed