Физика элементарных частиц и атомного ядра. Том 17 - Боголюбов Н.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Скаляр кривизны (4>Л во Вселенной (35), (38) равен
")Л:=6(4+(4)2)=12Я2- <40>
Уравнение движения для скалярного поля ф в рассматриваемом случае
выглядит так:
Ф + 3-ffqp + i?Je_2H(A(p = -^- 12|Я2ф, (41)
S
где V0 - эффективный потенциал без учета члена -|-(4)Яф2; последний член
в (41) равен |<4)Дф, причем для теории типа (31), когда
П("р) = У(0) + ^-ф2-|-ф*, (42)
уравнение (41) выглядит следующим образом:
Ф + З/Гф + ^е"2Н*Дф = - (т2 -}- 12?/72) ф2-Яф3. (43)
t
Отсюда видно, что член (4)Дф2 приводит к модификации эффективной массы
поля ф:
^ = -ЗУ-L = + (44)
Иногда бывает удобно записать уравнение (43) в конформных координатах
(36), (37), сделав также преобразование поля:
Ф = ty/R (г]). (45)
В этом случае уравнение (43) приобретает несколько более привычный вид
-JL- ф - Дф = - Л2 (л) (т2 + 2 (6g- 1) Я2) г|> - Яя|>*. (46)
ТУННЕЛИРОВАНИЕ В РАСШИРЯЮЩЕЙСЯ ВСЕЛЕННОЙ 849
При этом величина R (г|) в экспоненциально расширяющейся Вселенной
выглядит так:
R (Л) = Д0/(1 - Л0ЯЛ), (47)
так что R (r|) = R0 при г\ = О, R (г|) ->¦ сю при г] ->
(RqH)-1. Заметим, что область О <С t <С + о° на
языке переменной т] соответствует
области
О < л < (ЛоЯ)-1. (48)
Из (46) видно, что теория кажется особенно простой в случае тг = О,
X
| = 1/6, когда она выглядит как безмассовая теория -в пространстве
Минковского. Эта простота, однако, коварна и приводит к большому
количеству недоразумений.
Исследуем, например, вопрос об устойчивых состояниях поля в теории (42).
В мире Минковского для этой цели мы просто искали состояния, являющиеся
локальными минимумами V (ф). Так ли следует поступать и в расширяющейся
Вселенной? С целью понять ответ на этот важный для нас вопрос исследуем
теорию (42) при т2 = -М2 < 0 для случая ^ = 1/6. В этом случае из (46)
можно было бы заключить, что рассмотрение проблемы устойчивости в этой
теории в точке ф = 0 эквивалентно рассмотрению проблемы устойчивости в
теории с эффективным потенциалом V ("ф) с отрицательной и все время
возрастающей по модулю кривизной V" (г]э) = = -R2 (л) М2г)?2, откуда
следовало бы, что точка г)? = 0 (ф = 0) не является точкой устойчивости
поля ф. Это утверждение, однако, не является вполне правильным,
неустойчивость поля i|), вообще говоря, не влечет за собой неустойчивости
поля ф, так как согласно (45) ф = е_н*г]5. Поэтому состояние ф - 0 будет
неустойчивым, лишь если поле г)? растет быстрее, чем ен*. Казалось бы,
так и будет, поскольку эффективная масса поля неограниченно растет со
временем: т\ - -M2R2 (г|). Однако при этом необходимо учесть, что само
"время" г| ограничено сверху величиной (Л0#)-1, что не позволяет
неустойчивости поля г]з достаточно развиться.
Поскольку в конечном счете нас будет интересовать неустойчивость поля ф,
то можно попытаться исследовать этот вопрос непосредственно с помощью
уравнения (43), изучая для простоты однородные поля ф = ф (?).
Ограничиваясь случаем малых полей ф, отбросим член tap3 в (43) и будем
искать решение уравнения (43) в стандартном виде
Ф = ф0е1ш<. (49)
Нетрудно убедиться, что такое решение существует, и при этом
" = + -12|) Я2. (50)
2-0698
850 ГОНЧАРОВ А. С., ЛИНДЕ А. д.
Из (50) следует, что Im">0 при
т2 > -12?Я2, (51)
т. е. при т2 >• -12?#а точка ф = 0 устойчива относительно малых
возмущений. В этом смысле для изучения устойчивости теории достаточно
было бы вычислить знак т%$ (44), т. е. исследовать на устойчивость
эффективный потенциал
У(ф) = М<Р) + -|-")ЛФг- (52)
Однако рост возмущений поля ф в точках неустойчивости уравнения (43)
отличается от роста возмущений поля ф в теории (52) в пространстве
Минковского. Действительно, рассмотрим важный для нас случай т9ф <С Н. В
этом случае растущее решение при малых ф имеет вид
ф = Фо ехр , (53)
т. е. поле ф растет гораздо медленнее, чем поле в теории (52) в
пространстве Минковского, которое растет как
ф = фо ехр (| т9ф | t), (54)
Это обстоятельство оказывается очень важным для осуществимости нового
сценария раздувающейся Вселенной [32].
Рассмотренный выше парадокс с устойчивостью является основой для целого
ряда недоразумений, связанных с переходом к метрике (36) и конформно-
преобразованному полю (45). Так, например, в [33] исследование
устойчивости теории (42) сводилось к исследованию устойчивости конформно-
преобразованной теории поля а|> (45), что, как мы видели, приводит к
недоразумениям. В работе [31 с использованием того же метода исследования
утверждалось, что
конформная добавка ^ (4)#ф2 к V (ф) никак не сказывается на устойчивости
теории вблизи ф = 0, в противоречии с нашими результатами (51).
Аналогичные недоразумения, связанные с конформным преобразованием (45),
встречаются и при вычислении эффективного потенциала V (ф), и при
изучении туннелирования. Действительно, в некоторых случаях может
оказаться удобнее вычислять не эффективный потенциал V (ф), а эффективный
потенциал V (г)?), а затем уже в полученном ответе сделать замену = R (t)
ф [34]. При этом не обращается внимание на то, что для изучения вопроса
