Физика элементарных частиц и атомного ядра. Том 17 - Боголюбов Н.Н.
Скачать (прямая ссылка):
операторы:
1 д Я/С "*¦ ? "
1 д
а-* а, яв-> . да ,
а связь (80) переходит в условие, налагаемое на вектор состояния системы:
т{^-л2 + Ла'-^+Х2-ГХ4} Ч>. Х)-0. (81)
{В квазиклассическом приближении, которое нас будет интересовать, порядок
некоммутирующих операторов несуществен, поэтому мы отвлекаемся от всех
вопросов такого рода.)
Уравнение (81) допускает разделение переменных, так что его решение может
быть представлено в виде
^ (", X) = j decz (а) (х), (82)
где функции с& (а), ив(%) подчиняются уравнениям [18]:
Т { " + 0,2 ~ Ла4}Се ^ = 8Се М ' (83)
4"{-^+Х2-хК4}Мос) = еыеОс)- ^
В задаче о распаде ложного вакуума нас интересует эволюция волновой
функции Ч* при больших а. Уравнение (83) при а 1 имеет фундаментальную
систему решений
41,2)И = ge"1/4(a)exp{ + i5,(81, 2)(а, ao)}[l + 0 (у=^")] " (85)
862 ГОНЧАРОВ А. С., ЛИНДЕ А. Д.
а
где qt (а) = А а* -а2 + 2е, а 5е(1,2) (а, а0) - ± ^ Y Яг(а') da'-клас-
ао
сическое действие, удовлетворяющее уравнению Гамильтона - Якоби:
(4г)2+а2*"Аа4~28==0- (8б>
Волновая функция (82) содержит, таким образом, положительно-и
отрицательночастотную части, соответствующие верхнему и нижнему знакам
перед радикалом в формуле для S^,2) и описывающие Вселенную,
расширяющуюся с течением времени и сжимающуюся соответственно.
Между двумя этими типами вселенных такая же связь, как между частицей и
античастицей, первая из которых движется вперед по времени, а вторая -
назад. В этом смысле можно назвать расширяющийся мир "Вселенной", а
сжимающийся "Антивселенной" [39]. Разумеется, такой выбор столь же
условен, как и соглашение о том, частицу с каким зарядом следует
именовать "частицей", в отличие от "античастицы". Теория симметрична
относительно поворота стрелы времени, t -t, при котором Вселенная
перейдет в Антивсе-
ленную.
Рассмотрим положительночастотную компоненту волновой функции (82),
отвечающую раздувающейся Вселенной, а > О, чему соответствуют в
квазиклассическом приближении канонический импульс
*"=t=-wa<° <87>
и функция съ (а), равная асимптотически, при а> 1,
а
с^^=(-^-^+2е)'/<ехР[~! jfAa''-a'* + 2 ейа'] с, (а"). (88)
а0
Можно считать, что начальный волновой пакет при а = а0 сформирован из
функций иъ (%) с ограниченным параметром разделения е, поскольку функции
с большим параметром е чрезвычайно быстро эволюционируют и волновой
пакет, составленный из них, покидает окрестность точки % = 0 за время,
пренебрежимо малое по сравнению со временем существования
квазистационарного состояния, которое нас интересует. Вспомним квантовую
механику: квазистационарное состояние характеризуется узкой полосой
энергии, ширина которой падает с уменьшением проницаемости потенциального
барьера. Поэтому интеграл... (82) берется фактически по конечному
интервалу е, и найдется такое большое а, при котором с заданной точностью
мож-
ТУННЕЛИРОВАНИЕ В РАСШИРЯЮЩЕЙСЯ ВСЕЛЕННОЙ 863
но ограничиться первым членом разложения формулы (88) по степеням е/Ла4
для любого е, входящего в интервал интегрирования (82):
- ( л1*-а2 )1/4ехР [~1 j УЛ(r)'4 - а'2 da' -
ао
а
- ie j (Ла'4- а'2)-1/2 da'J Се, (а0). (89)
ао
Мы, кроме того, предположим, что а Л-1''2 (т. е. R >• Н-1 в размерных
переменных), и введем конформное время У) = -1/]/ Аа~ При этом условии
а
((r)) - ~~ ехр ? i j У A a'2 da' - ie (г] - r]0) J с& (а0), (90)
ао
и разложение (82) принимает вид
^(а. Х) = ^ехР [- {а3 - "!)] W(a, Xh (91)
где функция
^ Ob X) = \ de ехр [ - ie (т] - щ) ] сг (а0) иг (%), (92)
и удовлетворяет уравнению
^=т[-^+Х*-1-Х1]^, (93)
совпадающему с уравнением Шредингера для частицы в потенциале
V(x) =^-тх4-
Из квантовой механики известно, что если в некоторый момент времени г]0
задаться волновой функцией WQ (%), локализованной вблизи точки х = 0,
то с ростом г] квадрат модуля волновой функции
W (т|, %) при малых х экспоненциально убывает,
I W (Л" X) I2 ехр [-Г (г] - т|0)], (94)
за счет туннелирования под барьером. Константа распада Г в формуле (94)
пропорциональна квадрату коэффициента подбарьерного-прохождения частицы с
энергией е = 0 [%0 - точка поворота потенциала V (х): V (Хо) = V (0) =
0]:
хо ------------
Г ~ ехр [ 21^2 J ]/i.xi<jx]=exp [~|г]. (95>
о
864 ГОНЧАРОВ А. С., ЛИНДЕ А. Д.
Обратим внимание на то, что мы получили для скорости распада
А, д
то же выражение, что в плоском мире для теории --?-ф , где туннелирование
описывается, например, с помощью инстантонов Фуббини, евклидово действие
на которых как раз равно 8я2/ЗЯ. Это приводит к выводу, что поле с
конформной связью в квазиклассическом приближении не чувствует кривизны
мира (для чего, собственно, конформная связь и вводилась), если вместо
времени пользоваться конформным временем.
Есть, однако, принципиальное отличие рассматриваемой ситуации от случая
распада ложного вакуума в плоском мире. Заключается это отличие в
ограниченности сверху конформного времени, rj <С 0. Поскольку, по
предположению, время формирования волнового пакета rj0 мало: | г]0 | = 1
