Физика элементарных частиц и атомного ядра. Том 17 - Боголюбов Н.Н.
Скачать (прямая ссылка):
становится мнимой, а параллельная рц остается действительной.
Туннелирование здесь идет по одному на-
ТУННЕЛИРОВАНИЕ В РАСШИРЯЮЩЕЙСЯ ВСЕЛЕННОЙ 859
правлению (если угодно, по одной переменной) и говорить о частице,
живущей во мнимом времени, нельзя [29]. По направлению, параллельному
барьеру, классическое движение не запрещено, и было бы ¦бессмысленно
описывать движение частицы евклидовым действием.
Совершенно аналогично обстоит дело и с раздувающейся Вселенной. По
переменной <р система зажата потенциальным барьером
V (ф) и поэтому, если мы следим только за переменной ф, следует
ожидать, что мы увидим нечто похожее на квазистационарное состояние,
сосредоточенное около ф - 0. Вероятность измерить в системе значение поля
ф, близкое к нулю, будет медленно убывать. В то же время по переменным
гравитационного поля система не зажата никаким барьером, и отражением
этого является возможность классического движения - увеличения радиуса
кривизны R по фридмановскому закону. Если смотреть с этой точки зрения,
то никакого квазистационарного состояния по Л и медленного разрушения его
за счет просачивания под барьером, вообще говоря, может не быть, если
только туннелирование по полю ф не требует с необходимостью
одновременного туннелирования по масштабному фактору R.
Таким образом, применение евклидова подхода к туннелированию в
расширяющейся Вселенной в общем случае является необоснованным и может
приводить к неправильным результатам. Тем не менее результат Хоукинга и
Мосса [5] для случая пг "С Н оказывается справедливым, хотя и не
применительно к туннелированию, строго однородному во всем пространстве,
а применительно к туннелированию с образованием пузырей размером I > Н-1.
Причина этого состоит в том, что, хотя туннелирование, изученное выше,
идет одновременно и по масштабному фактору R и по полю ф, реально
изменение поля ф при иг <С # в процессе туннелирования весьма мало всюду,
кроме малой окрестности точки ? ~ я, так что вклад членов ~(<9цф)2 в
действие на инстантоне пренебрежимо мал. В этом смысле процесс эффективно
является одномерным, так же как в случае, когда частица падает почти
перпендикулярно барьеру. Для таких случаев евклидов подход может давать
правильный результат.
При этом все еще остается возражение, связанное с тем, что туннелирование
в евклидовом подходе должно было бы происходить в горловину гиперболоида
(см. выше). Однако аналогичная проблема имела место и в евклидовой теории
туннелирования при ненулевой температуре, где выяснение вопроса о форме
возникающего пузырька требует дополнительного исследования, но при этом
сама вероятность образования пузырька в евклидовом подходе определяется
однозначно и правильно [36]. Как будет видно из результатов следующего
раздела, вероятность образования пузырька размером
I > Н-1 в мире де Ситтера практически не зависит от формы пузырька. С
этим и связана нечувствительность результата, полученного Хоукингом и
Моссом, к тому, в каком сечении мира де Ситтера возникнет пузырек новой
фазы.
860 ГОНЧАРОВ А. С., ЛИНДЕ А. Д.
5. ТУННЕЛИРОВАНИЕ В РАСШИРЯЮЩЕЙСЯ ВСЕЛЕННОЙ. ГАМИЛЬТОНОВ ПОДХОД
Этот раздел мы начнем с рассмотрения так называемой модели мини-
суперпространства, в которой рассматривается пространственно-однородная
замкнутая Вселенная, заполненная однородным ска-лярным полем. В этом
случае метрика может быть записана в следующем общем виде:
ds2 = -а2 (*) dt2 + R2 (t) dl\
где dl2 = d%2 + sin2 % (d02 -f sin2 0 dcp2) - элемент длины на трехмерной
сфере.
Лагранжиан гравитационного поля в однородном случае равен [38]:
?0 = -^-[-а-'Л/Р + оЛ]. (77>
Лагранжиан (77) сингулярен, поскольку в него не входит производная по
времени от величины а (t), фактически определяющей выбор масштаба времени
t. Переменная а (t), таким образом, калибровочная, и соответствующий ей
канонический импульс па равен нулю:
ла = дЫда = 0. Это утверждение сохраняет силу и при наличии материи, в
качестве которой мы возьмем скалярное поле.
Рассмотрим сначала скалярное поле, конформно связанное с гравитацией, так
как в этом случае мы сможем точно решить возникающие уравнения.
Лагранжиан скалярного поля с конформной связью равен
LS = WR4 ^ (4)Лч,2_у (0) + -L . (78)
Вводя вместо ф переменную % по формуле ф = ^.L_- и устраняя из
лагранжиана полную производную по времени, получаем:
^ = Мт(?хГ-тХг + 1^Х4-2я^У(0)}. <(tm)'>
Сделав еще замену переменных а = <jN, R = оа, где сг2 = к! 12я2, придем к
полному лагранжиану
-Х2+ТХ'-~ (¦тжТ + а2-Аа4}' (79)
где A-4nW(0) =-^5-7(0), v=-^
ТУННЕЛИРОВАНИЕ В РАСШИРЯЮЩЕЙСЯ ВСЕЛЕННОЙ 861
Канонические импульсы равны
dL о * dL cl * r\
ТС% - 7~-=:~]цг' *^а = Г*-2 ^дГ Я^у = О,
с?Х д(r)
в гамильтониан
{- я! - а2 + Аа4 + X2 - у х4} •
На канонические переменные яа, я*, аг должно быть наложено условие связи,
возникающее из равенства нулю импульса, соответствующего переменной N:
°^^=1г{"л:"_а2+Ла4+я^+^2_т^4}- (8°)
При квантовании каноническим переменным обычным образом сопоставляются
