Физика элементарных частиц и атомного ядра. Том 17 - Боголюбов Н.Н.
Скачать (прямая ссылка):
действующие на вектор состояния Ф [ф (х)] по формулам:
Ф (х) Ф [ф (х)] = ф (х) Ф [ф (х)],
Я (х) Ф [ф (х)] = -J- Ф [ф (х)].
842 ГОНЧАРОВ А. С., ЛИНДЕ А. Д.
Изменение вектора состояния со временем определяется уравнением
Шредингера
1й-^ф,1фМ] = <й?ф.[фМ] =
= j d?x дк<( (х) дкф (х) - V (ср (х))] Ф, [ф (x)J,
* = 1, 2, 3, (4)
где оператор Гамильтона
#е= ^-^+±(алф)2+у(ф)]. (5)
Пусть эффективный потенциал V (ф) имеет характерный вид, изображенный на
рис. 1, и в некоторый момент времени t = О волновая функция системы Ф0 [ф
(х)] заметно отлична от нуля лишь при малой норме || ф (х) ||q функции ф
(х). В качестве нормы можно взять, например, норму пространства Соболева
W1 (й):
II ф По - f d3x [ф2 (х) + I V ф (х) |2].
&
Интуиция, выработанная в квантовой механике одной частицы, подсказывает,
что через короткое время зависимость от времени волновой •функции [ф (х)]
при ф (х) ~ 0 выйдет на асимптотику:
Ф*[ф(х)] = ехр (-i-l2-* --|f*) Ф[ф(х)] = С/<Ф[ф(х)], (6)
где оператор эволюции Ut имеет, таким образом, вид умножения на числовую
функцию времени:
Ut = exp [ --i- *]. (7)
Мы видим, что волновая функция системы затухает со временем:
|Ф*1ф(х)]120С exp ( - -?-*)• (8)
Физическая причина затухания вполне ясна. Состояние системы около ф = 0,
соответствующее нахождению системы возле локального минимума эффективного
потенциала, неустойчиво за счет просачивания под барьером в область
меньших значений V (ф). Величина Г, определяющая вероятность распада
ложного вакуума, пропорциональна вероятности подбарьерного прохождения от
конфигурации ф (х) = 0 к конфигурации пузырька новой фазы ф (х) Ф 0.
Покажем, как найти этот коэффициент подбарьерного прохождения в
квазиклассическом (при h -> 0) приближении.
ТУННЕЛИРОВАНИЕ В РАСШИРЯЮЩЕЙСЯ ВСЕЛЕННОЙ 843
Сделав в уравнении Шредингера (4) обычную квазиклассическую подстановку
для волновой функции
Ф - eiS/ft,
придем в результате к уравнению Гамильтона - Якоби:
4f + J ** [т ("Но) 2+т м>2+F (I'M)]33
+ Ф"]=°- (9)
В отличие от классической механики, на функцию действия S [ф (х)] не
накладывается требование вещественности. Переменные t и ф (х)
разделяются. Поэтому ищем решение в форме
S [t, ф (х)] = -Et + S'[Ф (х)]. (10)
Функционал S [ф (х)] удовлетворяет уравнению
Е= jdH [т ("Но Т+т <У(Р W)2+F (ф W)] • (И)
Если нас интересует подбарьерное движение, "стартующее" с конфигурации ф
(х) = 0, то мы получим граничное условие
71 № - W = ° °рИ (12)
Подставим (12) в (И) и увидим, что
Е = j d*xV (0). (13)
Поэтому функционал S [ф (х)] удовлетворяет уравнению [эквивалентному
уравнению (И) с учетом (13)]:
+ (14)
В силу положительной определенности функции v (ф) == V (ф) -
- V (0) при ф, близких к нулю, уравнение (14) не будет иметь
действительных решений. Положим поэтому:
S = -iW. (15)
Вместо (14) получим:
*[-W' "р<х)] = °* А*)
где
<Й(я(х), ф(х)]= j d3x[- -у-+-~ (Уф)2 + у(ф)]. (17)
844 ГОНЧАРОВ А. С., ЛИНДЕ а: д.
Из классической механики хорошо известно, как получить решение задачи
Коши для уравнения (16) с начальным условием W {ф (х)] = = W0 [ф (х)] при
ф (х) = ф° (х):
1. Необходимо найти решение характеристической системы уравнений
2. На решении системы (18), (19) необходимо вычислить функ-
фО(Х)
Реализуем шаги 1) - 3) для нашей задачи (16), (17). 1. Уравнения (18),
(19) принимают вид
Поэтому L = J d3x [яф - Ш\ = - J d?z [у Ф2 + у ^ф)2 + v (ф)J >
dy (х)_______ ЬШ
(18)
dx бф (х) '
dn (х)_______
(19)
dx бф (х)
с начальными условиями
ф(х)|т0=ф°(х), 31 (Х)^0 = 'бф(х)' *
(20)
ционал
<Р(х)
(21)
ф0(х)
где "функция Лагранжа" L [ф (х), ф (х)] является преобразованием
Лежандра по я (х) от "функции Гамильтона" <Ж>
3. Тогда решение задачи Коши выписывается в виде
<р(х)
(23)
Отсюда следует, что
Ф + Уф - v' (ф) = 0.
(24)
В качестве начальных условий (20) возьмем такие:
(25)
2. Найдем "функцию Лагранжа":
Ф = - - я.
ТУННЕЛИРОВАНИЕ В РАСШИРЯЮЩЕЙСЯ ВСЕЛЕННОЙ 845
3. Решение задачи Коши (16), (17) есть
<р(х) , .
Ж[ф(х)] = ТПф°(х) = 0]- j dx j [-|-\-(Уф)2 + у (ф)] d*z.
о
Мы приходим, таким образом, к квазиклассическому выражению для
координатной части волновой функции:
Ф[ф(х)] = Ф[0] ехр ( - J dx J d3x j (Уф)2 + у(ф)]) , (26)
о
где, повторяем, интеграл, стоящий в показателе экспоненты, должен
вычисляться на решении уравнения (24). При некоторых значениях {т, х) для
решения ф (т, х) уравнения (24) будет выполняться равенство ф = 0, т. е.
зх = бб'/бф = 0.
Это та точка в функциональном пространстве, где прекращается классически
запрещенное и начинается классически разрешенное движение. Мы, таким
образом, найдем ту конфигурацию поля ф (х), которая является началом
классического движения (и соответствует появляющемуся пузырю), если решим
уравнение движения
ф + уф - 1/ (Ф) = 0, (27)
и окажется, что ф (т, х) = 0 при некотором фиксированном т = тс. Тогда фс
(х) гз ф (тс, х) - конфигурация возникающего классического поля. Если же
окажется, что ни при каком тс "скорость"
<р (тс, х) не равна нулю тождественно по х, то мы не знаем, как связать
