Физика элементарных частиц и атомного ядра. Том 17 - Боголюбов Н.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Евклидов подход к описанию туннелирования в искривленном пространстве был
предложен Колеманом и Де Луччиа [1]. Они предложили, так же как это
делалось в плоском пространстве [30], найти
ТУННЕЛИРОВАНИЕ В РАСШИРЯЮЩЕЙСЯ ВСЕЛЕННОЙ 853
аналитическое продолжение метрики к евклидовой форме (т. е. к метрике с
сигнатурой + + + + ) и рассмотреть действие скалярного и гравитационного
полей в кривом евклидовом (точнее, римановом) пространстве:
SE [Ф, g] = J dix Vg {4* ^ЧьФ^Ф + V (ф) + (4)Д} , (58)
где - скаляр кривизны пространства с метрикой g^.
Предполагается, далее, использовать для оценки скорости распада ложного
вакуума величину е_в, где В - SE [ф (ж)] - SE [0], а ф (я) -
минимизирующая действие (58) конфигурация скалярного поля [ей отвечает
определенная метрика (ж)].
Функции ф (х) и g^v (х), минимизирующие действие (58), предлагается затем
аналитически продолжить к таким значениям координат, при которых метрика
действительна и имеет сигнатуру---Ь + + •
Делая аналитическое продолжение разными способами, можно получить разные
области физического пространства [8].
Поскольку большинство работ по туннелированию в расширяющейся Вселенной
используют метод Колемана и Де Луччиа [1], то в данном разделе мы вкратце
опишем этот метод и применим его к изучению туннелирования в мире де
Ситтера. Краткое описание того, что такое мир де Ситтера, содержится в
приложении. При этом мы воспроизведем известный результат Хоукинга и
Мосса относительно однородного туннелирования во всей Вселенной. В конце
раздела содержатся критические замечания по поводу интерпретации этих
результатов и возможности применять полученные евклидовым методом
результаты к теории туннелирования в раздувающейся Вселенной.
Предположим, следуя Колеману и Де Луччиа [1], что функции Ф (х) и gMv
(ж), минимизирующие (58), имеют О (4)-симметрию:
Тогда уравнения Лагранжа, которым они подчиняются, выглядят следующим
образом:
где штрих обозначает дифференцирование по Действие на решение системы
(60), (61) равно [1]:
dS2 = с*|2 + р2 (?) с*Й2; ф = ф (I).
(59)
(61)
(60)
Sa = 2я* ) dl [р3 (-1 ф'* + V) + -I (РV + РР'2~ р)] =
= 4я2 (62)
854 ГОНЧАРОВ А. С., ЛИНДЕ А. д.
Как доказано в [8], р (?) всегда имеет два нуля, если V (0) Ф 0. Интеграл
(62) вычисляется между точками, в которых р -- 0. Одна из таких точек % =
0, другую назовем S.
Мы увидим позже, что показатель экспоненты, определяющей вероятность
туннелирования,
В = SE [Ф] - SE [0], (63)
имеет нулевой порядок по к [а не минус первый, как могло бы показаться из
(62)]. Для вычисления действия (62) с точностью до членов нулевого
порядка по к необходимо, как это видно из (62), знание р (!) с точностью
до членов порядка к, а ф (|) - с точностью до членов порядка единицы.
1 Рассмотрим туннелирование из состояния ф = 0 в теории с эффективным
потенциалом
V (y) - V (0) + ----- У (0) +У (ф)- (64)
Система (60), (61) имеет тривиальное решение:
Ф = 0, р = Л-1 sin (65)
где Я* =-§-F(0).
Будем искать теперь решения системы (60), (61), такие, что: <р (0) Ф 0,
ф' (0) = 0, ф (S) = 0, 16 10, Е] 10 и S - нули р (?)]. Введем
безразмерные величины
г = #р, Ф = ]/Яф/?Г, % = Щ, \л = т/Н. (66)
Тогда вместо (60), (61) получим систему:
Ф + 3 -jj- Ф - и' (Ф) = 0, (60')
г2 = 1 - г2 + иг2 Ф2 - и (Ф)^ ,
Ы(Ф)= ±1ф2__^ф4, (61')
где х = gjj- кН2 < 1, а точка обозначает дифференцирование по ?.
В соответствие со сделанным замечанием считаем Ф = О (1), а г = г0 + хгх,
причем г0 (0) = (0) = 0. Тогда из (60), (61) следует:
г* = 1-г*, т.е. r0 - sin ?, (67)
Ф + 3-Ф - и' (ф) = 0, т.е. & + 3ctg ?Ф - и/(Ф) = 0, (68)
г о
г. + tg &Ч = -|^-Я(0, (69)
1 ^
ТУННЕЛИРОВАНИЕ В РАСШИРЯЮЩЕЙСЯ ВСЕЛЕННОЙ 855
При решении уравнения (69) зависимость Ф (?) считаем известной [из
решения (58)]. Уравнение (69) интегрируется, и, с учетом граничного
условия гг (0) =0, имеем:
М?) = 4"1 cos ?| \dt-* ¦ , E(t). (70)
1 2 1 ъ 1 J cos t | cos ^ | v ' v '
o
Действие на решение равно
s
SE = 4л2 j dl [p3 (F(0) + i>(<p) - -p-] =
4я2
о z
%
0
jd? [н>(ЬЯ-'7(0) + и(Ф))--?-]
=4Ч<^+Л(Ф)], <71>
где Z - значение переменной при котором г = 0. Очевидно, Z = я + >сб, где
6 = О (1). Поэтому
о
= W.{Jd?_r|-r!L+j dtr>m +
о о
л
-f j i)^i +W-^о)к=яб+0(х)}.
о
я
Учтем, что SE [0] =j , a r0 = sin ?. Тогда
о
5 = 5е[Ф]-^в[0] =
я я
4я2 Я,
о о
I I sin3 lu (Ф) -f j (3 sin2 ?- 1) т^} . (72)
Займемся вычислением второго интеграла в формуле (72):
856 ГОНЧАРОВ А. С., ЛИНДЕ А. Д.
Поменяем порядок интегрирования по ? и t и разобьем область
интегрирования на части, в каждой из которых cos t имеет определенный
знак. В результате получим, что этот интеграл равен
л
J d?sin3? Ф2 - и(Ф)) .
о
Таким образом, показатель экспоненты равен
я
|^8тзг(4-ф2+и(ф))- (73>
о
Ответ вполне естествен: фактически мы неявно предполагали малость поля cp
(-|-tap4 V, т. е. Ф4 -С 1/*) и его градиентов
[ср2/2 <с V (0), т. е. Ф2 <С 1/х]. Поэтому метрика определяется значением
эффективного потенциала при ср = 0, и эволюция поля ф происходит в
