Физика элементарных частиц и атомного ядра. Том 17 - Боголюбов Н.Н.
Скачать (прямая ссылка):
/а0 ~\f А 1, то и приращение времени
\
1] - ri0 <-< 1. Между тем хорошо известно (см., например, а0у А
[29]), что волновая функция местастабильного состояния затухает
экспоненциально со временем, в соответствии с формулой (94), лишь при ц -
т]0 1. Так что в нашем случае попросту не хватает вре-
мени для затухания волновой функции формально метастабильного состояния,
т. е. однородное во всем пространстве туннелирование не осуществится.
Этот вывод находится в противоречии с утверждением Хоукинга и Мосса
применительно к рассматриваемой теории.
Перейдем теперь к рассмотрению скалярного поля, минимальным образом
связанного с гравитацией. В этом случае лагранжиан
La = 2n*R*a [-^5- yt-V (<р)] (96)
после замены переменной ф = Ф примет вид (остальные обо-
значения такие же, как в рассматривавшемся выше случае поля с конформной
связью):
Л(Ф)-*Л*У. (97)
Действуя так же, как прежде, придем к гамильтониану:
{-^г-я*-а*+Л(Ф)а'}. (98)
При переходе к квантовой теории получим уравнение, аналогичное (81):
{аг-Щ- -Ш-а'+Л (ф> "'} т(". ф)=0- (99)
Выделяя из Л (Ф) не зависящую от поля часть, Л (Ф) = Л + -f w (Ф) (w (0)
= 0) и интересуясь эволюцией Y при У Аа 1,
ТУННЕЛИРОВАНИЕ В РАСШИРЯЮЩЕЙСЯ ВСЕЛЕННОЙ 865
сделаем, как и прежде, подстановку (91). Функция W (а, Ф) удовлетворяет
теперь уравнению
т{--яг+в'(ф>"'}*г- <100>
Рассмотрим вначале случай простейшего потенциала V (<р) = V (0) + -fФ2,
т. е. w (Ф) = |л2Фа, где |j,2 = а2пг2. В соответствующем уравнении
Шредингера,
1 ^Ха'ж-=т (~т + ^w) w< (100'>
удобно сделать замену независимых переменных Ф: а -> | = а3/2Ф,
t - -т=г In а и перейти от функции W (?, ?) к функции и (t, h)
по формуле
W{t, 1) = exp [Аул (t -ip)] и (i, t). (101)
Введенная таким образом функция и (t, ?) удовлетворяет уравнению
^Шредингера для гармонического осциллятора:
. д 1 дг . О)2 /4АО\
1 Жи^~Т в|Ги+-2-?"- (102)
где со2 = fx2 - 9А/4.
Волновая функция основного состояния осциллятора, равная
"(*> ^) = (т)1/4ехр [^iTt-T^2] ' (103)
приводит к следующей зависимости функции W от а и Ф:
W{a, Ф) = (~)1/4а3/4ехр [~i (у^=-1па +
+-|- У А а3Ф2) ] ехр [ - азфг] . (104)
Квадрат модуля волновой функции W (а, Ф) соответствует гауссову пакету,
сжимающемуся с увеличением at
\W (а, Ф)|2=т/*JL аз/2 ехр (- юа3ф2). (105)
w Л
Нормировка волновой функции (105) сохраняется при увеличении а: +00
j с2Ф | W {а, Ф) |2 = 1. Так и должно быть, поскольку в правой
- 00
части уравнения (101) стоит эрмитов оператор.
Заметим, что говорить об основном состоянии осциллятора можно только при
го2 ;> 0, т. е. при pi2 ;> 9А/4. Разберемся, с чем связано
3-0698
866 ГОНЧАРОВ А. С., ЛИНДЕ А. Д.
выделение значения ц3 = 9А/4. Для этого обратимся к классическому
уравнению движения для поля Ф:
Ф 4- 3 У А Ф + ц2Ф = О, (106)
где точка означает дифференцирование по t = -7=- In а. Фундамен-
V Л
тальная система решений этого уравнения:
Фь 2 =* ехР [ ( -УЛ ± i \/~И-2----1" л) *] • (107)
g
Таким образом, при [л,2 > А решение носит затухающий периодический
характер, в то время как при ^2 <С 9Л/4 колебания отсутствуют - движение
апериодично. Понятно, почему ширина гауссова пакета (105) убывает с
увеличением а: амплитуда колебаний при классическом рассмотрении убывает,
как это следует из уравнения (107). В связи с распадом ложного
вакуума нас будет интересовать
только случай [г2 > 9Л/4. Это связано с тем, что распад
квазиста-
ционарного состояния происходит вследствие того, что, .пользуясь
терминологией одночастичной механики, частица периодически ударяется о
потенциальный барьер и при каждом столкновении имеет
некоторую вероятность протуннелировать. Когда мы от потенциала *"2
V (ф) = V (0) -f f2 переходим к потенциалу с барьером V (ф) =
= V (0) "Ь ~ ф2-4"Ф4" т0 распад состояния, сосредоточенного
возле ф = 0, будет происходить только если поле будет "биться"
о потенциальный барьер при своих колебаниях, т. е. только если
реализуется режим затухающего периодического движения, при ц2 > 9Л/4.
При w (Ф) = ц2Ф2 (|i2 > А) мы нашли волновую функцию
(104) основного состояния. Пусть теперь w (Ф) = ц2Ф2-уФ4"
v = XI2п2 <С 1. За счет туннелирования под барьером основное состояние
станет квазистацйонарныга. Скорость распада определяется волновой
функцией за барьером, при Ф2 jrVv, относительно ее значения при Ф = 0.
Рассмотрим ситуацию в квазиклассическом приближении, когда W - exp (iS
(а, Ф) У А), где функция S (а, Ф) удовлетворяет уравнению Гамильтона -
Якоби, следующему из (100):
(108)
ТУННЕЛИРОВАНИЕ В РАСШИРЯЮЩЕЙСЯ ВСЕЛЕННОЙ 867
или, более подробно,
а4|!-+т(-|зг)2+(^ф2-тф')й8 = 0' <109)
где jj,2 = |12/Л, g = v/A.
Как видно из формулы (104), в случае g - 0 функция S (а, Ф) равна
S = а3Ф2 ( -|-)-|-га) , (110)
где со = (о/УЛ = У [г2 - 9/4. Это наводит на мысль искать решение
уравнения (109) в виде
S (а, Ф) = а3Ф2а (ц), (111)
где ц = ц (Ф) -|Ф.
Функция а (rj) удовлетворяет обыкновенному дифференциаль-
ному уравнению
(2о -f rja')2 + 6cj + ([г2 - т]2) = 0, (112)
