Основы квантовой механики - Блохинцев Д.И.
Скачать (прямая ссылка):
Согласно изложенным выше свойствам интегралов движения сравнение (33.16) следует понимать в том смысле, что ни среднее значение энергии Е, ни вероятности найти отдельные возможные значения энергии Е = Еп не зависят от времени1).
О законе сохранения энергии в квантовой механике см. § 113.
Н может быть написан в виде (ср. (26.6))
H = Tr+^ + U(r).
(33.12)
М,,, Мг, согласно (25.8), зависят только от углов в, ф, поэтому не действуют на функции от г. Кроме того, оператор М2, входя-
\Н, лУ = [?, Му 1 = [.
0. (33.14)
(33.13)
(33.15)
Если гамильтониан не зависит явно от времени, то
(33.16)
Глава VI
СВЯЗЬ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ С КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКОЙ И ОПТИКОЙ
§ 34. Переход от квантовых уравнений к уравнениям Ньютона
Доказанные в § 32 теоремы Эренфеста утверждают, что во всяком состоянии ip для среднего значения механических величин имеет место квантовое уравнение Ньютона*)
d2 /_ч dU /0. ,,
Илг(*)=—5Г- <34Л)
Представим себе, что я|) отлично от нуля заметным образом лишь в очень малой пространственной области Ах. Такое состояние мы будем называть волновым пакетом.
Если бы среднее значение х изменялось согласно классическому уравнению Ньютона и форма, пакета не менялась бы, то движение пакета l^l2 мы могли бы рассматривать как движение материальной точки, подчиняющейся ньютоновской механике. Вообще говоря, такого движения по квантовой механике не получается, так как, во-первых, волновой пакет расплывается, а, во-вторых, чтобы движение центра тяжести пакета х совпадало с движением материальной точки в поле U (х), нужно, чтобы осуществлялось равенство _
Ж- = Т' (34.2)
Последнее равенство, вообще говоря, не имеет места. Рассмотрим все же подробнее те условия, при которых движение пакета приближенно совпадает с движением материальной точки. Среднее значение х координаты л*, т. е. координата центра тяжести пакета, определяется формулой
x = ^*xtydx. (34.3)
*) Мы ограничиваемся одним измерением. Обобщение рассуждений на про* странственный случай не представляет никакого труда.
§ 3-1]
КВАНТОВЫЕ УРАВНЕНИЯ И УРАВНЕНИЯ НЬЮТОНА
137
Среднее значение силы есть
-f—S**
Положим х = х + ?, тогда
dU
дх
г|5 dx.
(34.4)
dU
дх
$!>*(*+&)
дЩх+Ъ)
дх
ty(x + t)dl. (34.4')
Допустим, что U (х) — достаточно медленно меняющаяся функция переменной х в области, где | ^ |2 заметным образом отлично
dU (х 4-Z) «.
от нуля. Тогда —gj можно разложить в ряд по степеням
Производя это разложение, получим
ди - ди J w dl - -ip ^ ГЫ dl -
1 &U(x)
дх
дх
21 дх3
(34.5)
Но
Поэтому
$ dc, = $ dx — 1,
^ dl, — § я[>* (х — х) -ф dx = О,
5 dl = ^ г))* (х — х)2гр dx = (Ах)2.
dU
дх
d(J(x) 1 &U(x)
дх
2 дх3
(Д*)2-..
Из уравнения (34.1) имеем
ди (х)
йЧ
дх
(34.6)
(34.7)
Пели силовое поле медленно изменяется в пространстве, то, выбрав достаточно малую ширину пакета (Да:)2, мы можем в этом уравнении пренебречь всеми членами, кроме первого. Тогда мы получим уравнение Ньютона для движения центра тяжести (х) волнового пакета:
ди (х)
d~x
дх
(34.7')
которое будет справедливо для того промежутка времени /, для которого отброшенные в уравнении (34.7) члены малы, т. е. по крайней мере при условии пока
dU (х) дх
d*U (х)
дх3
(Ах)2.
(34.8)
138
СВЯЗЬ С КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКОЙ И ОПТИКОЙ [ГЛ. VI
Величина (Дх)2, определяющая размеры пакета, есть функция времени и, вообще говоря, растет со временем (см. ниже) —пакет расплывается. Поэтому, если даже неравенство (34.8) выполнено в начальный момент времени, то, начиная с некоторого момента /, оно может нарушиться. Но и выполнение неравенства (34.8) еще не означает, что состояние частиц совпадает с классическим1). _____
Действительно, если взять очень узкий пакет ((Ах)2 мало), то средняя потенциальная энергия частицы по квантовой механике практически равна потенциальной энергии материальной точки, находящейся в центре волнового пакета:
U = dx U (х). (34.9)
Но этого нельзя сказать о кинетической энергии Т. Действительно,
т=| = ^(^Гр+рР = 5? + |1. (34.Ю)
В силу соотношения Гайзепберга
(Ар)2
4 (Д*)2
поэтому в (34.10) первый квантовый член может оказаться гораздо больше классической энергии частицы, движущейся с импульсом р. Квантовым членом в (34.10) можно пренебречь, если
— >— или р2>-(34.11)
2Ц 2ц 4(А’<Г
Таким образом, движение частицы можно считать происходящим по законам классической механики в течение времени /, если в течение этого времени можно одновременно удовлетворить неравенствам (34.8) и (34.11).
Одновременному удовлетворению обоих этих неравенств благоприятствуют следующие обстоятельства: 1) большая кинетическая энергия частицы Т, 2) поле U (х) представляет собой медленно меняющуюся функцию координат х.
Таким образом, переход от квантовых уравнений движения к ньютоновским получается при переходе к большим кинетическим энергиям частиц и плавно меняющимся полям.
х) Для всох функций U (х) вида: U — a -f-bx + сх2, как следует из (34.7), движение центра тяжести пакета точно совпадает с классическим движением материальной точки в поле U (х). К числу таких случаев относятся: а) свободное движение, в) движение в однородном поле, с) гармонический осциллятор и некоторые другие (например, в однородном магнитном поле получаются те же результаты, что и для осциллятора).
