Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Блохинцев Д.И. -> "Основы квантовой механики" -> 45

Основы квантовой механики - Блохинцев Д.И.

Блохинцев Д.И. Основы квантовой механики — Наука, 1976. — 664 c.
Скачать (прямая ссылка): osnovikvantovoymehaniki1976.djvu
Предыдущая << 1 .. 39 40 41 42 43 44 < 45 > 46 47 48 49 50 51 .. 229 >> Следующая

х) Об уравнениях квантовой механики в криволинейной системе координат см. дополнение VII.
Г л а в а IV
ИЗМЕНЕНИЕ СОСТОЯНИЯ ВО ВРЕМЕНИ § 28. Уравнение Шредингера
Пусть в какой-нибудь момент времени / = 0 дана волновая функция \Ь (*, 0), описывающая состояние ансамбля частиц (буксой х мы обозначаем совокупность всех координат частицы). С помощью этой волновой функции мы можем вычислять вероятность результатов измерения различных механических величин для момента времени t = 0 в ансамбле частиц, находящихся в состоянии г[)(х, 0). В этом смысле мы говорим, что волновая функция яр (ху 0) определяет состояние частицы в момент времени / = 0.
Допустим теперь, что мы намерены произвести измерения не в момент времени / = 0, а позднее, в момент />0. За это время состояние частицы (в общем случае— системы частиц) изменится и будет изображаться некоторой новой волновой функцией, которую мы обозначим через *ф(^, t). Как мы знаем, волновая функция меняется также в результате измерений («редукция волнового пакета», § 17). Сейчас мы предполагаем, что никаких измерений в интервале от /== 0 до некоторого момента t не производится, так что речь идет об изменениях состояния, вызванных исключительно движением частицы (или системы частиц) самой по себе, без вмешательства измерительного прибора.
Каким образом в этом случае связаны между собой волновые функции гр (ху 0) и г|) (х, /)?
Так как волновая функция полностью характеризует чистый ансамбль, то она должна также определять и его дальнейшее развитие. Это требование выражает принцип причинности в при-менении к квантовой механике1). Математически это означает,
J) Мы оставляем открытым вопрос, насколько такая общепринятая формулировка принципа причинности является единственной. Возможна и такая постановка вопроса, когда решение не определяется начальными данными, а выбирается условиями, относящимися и к прошедшему, и к будущему, так что получается задача на нахождение собственных решений в пространстве и времени.
УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА
117
что из волновой функции ^ (х, 0) для i = 0 должна однозначно определяться волновая функция г|) (х, t) в более поздние моменты времени.
Рассмотрим функцию ^ в момент времени Д/, бесконечно близкий к / — 0. Тогда
(х, Д/) = г|)(л\ 0) + Л/ +...
Согласно сказанному о должно определяться из г|? (х, 0),
т. е.
0=^(Л’’
где L (х, 0) —некоторая операция, которую следует произвести
над ур (*, 0), чтобы получить 0-
Так как момент / = 0 взят совершенно произвольно, то будем иметь
^7-^= L(x, t) $(х, t). (28.1)
Вид оператора L, который можно называть оператором смещения во времени, не может быть определен из изложенных выше положений квантовой механики и должен быть постулирован.
Согласно принципу суперпозиции состояний этот оператор должен быть линейным. Далее, оператор L не может содержать ни производных, ни интегралов по времени. В самом деле, если бы он содержал первую производную по /, то это означало бы просто, что оператор L есть не тот оператор, который мы хотим иметь: оператор L выражает первую производную по t через г}) (х, /). Если бы он содержал высшие производные по /, то (28.1) означало бы уравнение для более высокого порядка, чем первый, и следовательно, для определения состояния в последующие моменты времени нужно было бы знать при / = 0 не только
г|э (х, 0), но и производные по времени от \|r. ^jrjo,
т. е. волновая функция не определяла бы состояния системы, что противоречит нашему основному предположению (г|э определяет состояние системы). Наличие интеграла по t означало бы,
х) Так, например, уравнение для колебаний струны есть уравнение второго порядка по времени. Для определения состояния струны в момент / — 0 нужно знать не только отклонение струны а (х, /) для / —0, но и скорости ее точек
да- (*» 0 v Г\
при / = 0.
118
ИЗМЕНЕНИЕ СОСТОЯНИЯ ВО ВРЕМЕНИ
(ГЛ. IV
что для последующего играет роль значение ^ па целом отрезке времени, т. е. история процесса. Таким образом, L может содержать t лишь как параметр.
Уравнение (28.1) позволяет по начальной волновой функции (х, 0) найти функцию (х, t) и тем самым предсказать вероятность результатов различных измерений в момент /, в предположении, что в интервале от ^ = 0 до t система не испытывала никаких дополнительных воздействий, в частности, не подвергалась измерению.
Изменение волновой функции, имеющее место при измерениях («редукция»), не описывается каким-либо дифференциальным уравнением, а вытекает непосредственно из самого результата измере-НИЯ (§ 17).
Правильный выбор оператора L подсказывается рассмотрением свободного движения с определенным значением импульса р. Волновая функция для такого движения есть волна де Бройля
<№ у, г,
где
р!+р~у+р1
Е-.
2\х
Непосредственная подстановка показывает, что эта волна удовлетворяет уравнению
а
Это последнее уравнение можно переписать в виде
__ J ш* dt iff Н^
если под оператором Н понимать гамильтониан для свободного движения частицы
Я = 7 = - 5-V2.

Отсюда следует, что для свободного движения оператор смещения во времени L = ~ Н.
Предыдущая << 1 .. 39 40 41 42 43 44 < 45 > 46 47 48 49 50 51 .. 229 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed