Основы квантовой механики - Блохинцев Д.И.
Скачать (прямая ссылка):
При возрастании энергии частицы возникают явления неупругих ударов (ионизация и возбуждение атомов, тормозное излучение, возбуждение и расщепление атомного ядра и т. п.),
148
СВЯЗЬ с КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКОЙ И ОПТИКОЙ [ГЛ. VI
которые не могут быть рассчитаны без применения квантовой механики.
В заключение этого параграфа рассмотрим случай, когда E'^>\U\. Из (36.16) имеем
п=1-~ + ... (36.20)
В этом случае лучи преломляются слабо и их можно считать прямыми линиями. Если при этом потенциал настолько гладкий, что соблюдено условие (36.19), то рассматриваемое приближение называется эйкональным. Вычислим в этом приближении
изменение фазы волны rj вдоль луча, который для определенности будем считать направленным вдоль оси ОХ. Из (36.10) и (36.20) следует
,36.21)
так что
*2 *2
т] — &0 jj (п — 1) dx = — k0 ^ dx. (36.22)
л-1 л-1
Этот результат будет использован в теории дифракционного рассеяния частиц.
§ 37. Квазиклассическое приближение (метод Вентцеля — Крамерса — Бриллюэна)
Изложенная в §§ 35, 36 связь между квантовой механикой и классической механикой и оптикой позволяет развить приближенный метод решения уравнения Шредингера, пригодный в тех случаях, когда соблюдено условие (36.19), т. е. при слабом изменении длины волны. Говоря на оптическом языке, в тех случаях,
когда показатель преломления среды п (х) медленно меняется
в пространстве.
Тогда, полагая в соответствии с (35.10) и (35.12)
y = (37.1)
где s^s0Jrifis1Jr ..., получим
г|) = e-sie--K(Et~s°\ (37 Л')
Рассмотрим в дальнейшем тот случай, когда потенциал U зависит лишь от одной координаты U = U (х), тогда s0 и s± также будут функциями только х.
Теперь ys0 = ^^-f 0, 0j и из (36.12) следует, что
So (*) = $ Р (х) dx, (37.2)
МЕТОД ВЕНТЦЕЛЯ-КРЛМЕРСА-БРИЛЛЮЭНА
149
где р (х) есть импульс частицы
р{х)=± 1/2(1 [Е - и (*)] = ± I р (х) I. (37.2')
Пользуясь (35.13'), вычислим Si, причем там следует положить ••= 0. Получим
2*L*L_d^L= ^373 dx dx dx- ' 7
откуда Si = + ~ ln p (*) — ln с, так что
(*) = 77= e'1 ^" <Jr) (37.4)
Iх P W
В этом приближении вероятность найти частицу в области х, x + dx есть
w(x)dx=; $(x) \Чх = ^у~, (37.5)
т. е. она обратно пропорциональна скорости v(x) = p(x)/|л, стало быть прямо пропорциональна времени прохождения отрезка dx, как это и должно быть по классической теории. Учитывая два
возможных знака р (х) в (37.2'), полное решение следует написать
в виде суперпозиции двух решений
X X
ТГ \ 1 р ^ \ 1 р 1 dx
ц{х) = -^е « « . (37.6)
Г р (х) I р (х)
Константы си с2 и а должны быть выбраны из граничных хеловий для волновой функции 'ф(х)1). Ясно, что из трех констант независимы только две.
Особого рассмотрения требует случай точек поворота, т. е. таких точек, где полная энергия Е равна потенциальной U (х). В такой точке кинетическая энергия и импульс частицы становятся равными нулю: Т — 0, р = 0.
Согласно классической механике частица в такой точке меняет -•пак скорости и начинает двигаться в обратном направлении.
01 сюда и название —точка поворота.
С волновой точки зрения допустимо движение и в области, где E<.U(x) (об этом подробно будет рассказано в §§ 96, 97). При этом величина р (х) (37.2') будет чисто мнимой и, конечно,
А) См. дополнение VIII.
150
СВЯЗЬ С КЛЛССЛ1ЧПСКОП МЕХАНИКОЙ И ОПТИКОИ [ГЛ. VI
уже не имеет смысла импульса:
р (х) - it i У 2[I [U (лj-?] = ±11 р (х) |. (37.2")
При этом одно из решений в (37.6) будет неограниченно нарастать с ростом х. Физически имеют смысл только ограниченные волновые функции, поэтому в области, где Е <iU (х), константу с2 следует положить равной нулю, так что
*
I §1 р (лг) 1 dx
“ . (37.6')
V I Р (*) |
Для дальнейшего рассмотрения точек поворота удобно выбрать константу а равной значению х в точке поворота E = U (а), р (а) = 0.
Как видно из (37.6), (37.6'), найденные приближенные решения обращаются в бесконечность как раз в точках поворота. Поэтому сшивание решений но обе стороны от точки поворота требует рассмотрения более точного решения уравнения Шредингера в окрестности этой точки.
Это достигается тем, что в окрестности х = а потенциал U (х)
представляют в виде U (х) = U (а) + (^r j (х — а)-\- ... и решают
для этого линейного потенциала уравнения Шредингера. Мы приведем только результаты такого расчета.
Будем считать, что для х>а Е <.U (х), а при х<.а E>U (х), тогда оказывается, что правильный выбор констант таков, что
а
*м=7Ш5!п[И'’м‘1'+7]1 х<а- (37'7)
*
X
— I jj : Р М \ dx
^(x) = —L==^e а , х> а. (37.7')
2 |/ | р (х) | ^ V '
И для случая, когда E~>U (х) в области х>а:
I37-7')
а
Предположим теперь, что область движения частицы ограничена и оно происходит между двумя точками поворота Ь<х<а.
Тогда в (37.7") следует вместо предела а подставить Ь. Очевидно, что оба решения (37.7) и
<37'8)
§ 37] МЕТОД ВЕНТЦЕЛ Я—КРАМЕРСА—БРИЛЛ ЮЭНА 151
в области b<ix<ia должны совпадать. Это возможно лишь при условии
а
\<\iP(x)dx+* =(п+1)п, (37.9)
?
где п — целое число.
Распространяя интеграл по всему пути частицы от а до b и обратно, получим
^ р (х) dx = (n-\- 2лй. (37.10)
