Основы квантовой механики - Блохинцев Д.И.
Скачать (прямая ссылка):
dS0 dS0 dS0 /or i\
Р*=—ЗГ> Ру=—дГ> Pz== дг~’ <35Л)
где рХУ рУу pz — проекции импульса частицы на оси координат. Само уравнение Гамильтона — Якоби для рассматриваемого случая имеет вид
as0 _ 1 17 А
dt 2u [\ д.
Так как функция Гамильтона Н (рХ1 pyf pZi х, у, г, t) равна Н (Рх, Ру, Pz, X, у, z, tj^^ipl + p-yi-p'D + U (х, у, z, t), (35.3)
то из (35.1) и (35.2) следует, что уравнение Гамильтона — Якоби может быть написано в виде
Т = Я(-Т’ -W’ -ТГ- *• »• 2’ ')¦ (35'4)
Если функция Гамильтона явно от времени не зависит, то она равна энергии частицы Е. Тогда из (35.4) следует
^¦ = Е, S0 = Et-s0(x, у, г). (35.5)
142
СВЯЗЬ С КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКОЙ И ОПТИКОЙ
[ГЛ. VI
Равенства (35.1) показывают, что траектории являются линиями, ортогональными к поверхностям = const. Если И не
зависит от времени явно, то форма этих поверхностей не меняется с течением времени.
На рис. 22 показаны эти поверхности и возможные траектории частицы.
Частица, находящаяся в момент времени / = О в точке а, будет двигаться в дальнейшем по траектории ab. Представим себе рой частиц, имеющих различные начальные координаты .Го* У01 ^о- Пусть в элементе объема ДУ имеется Д/У = рДК частиц, где р —плотность частиц. К моменту времени t все эти частицы переместятся в некоторую другую область пространства, но число их, конечно, не изменится. Поэтому, если следить за движением элемента объема ДУ, связанного с этими частицами, то число частиц в нем остается неизменным. Обозначая локальную про-
x^=nonst
Рис. 22. Траектории и поверхности постоянной функции действия.
изводную через
Р
Dt
получим
DAN
Dt
D Д V Dt
¦ о.
Но, как известно, локальные производные от р и ДУ равны Dp _________________ Эр , D AV
Dt
dt
+ Vpv,
Dt
= div v АУ,
где v —скорость движения частиц. Комбинируя эти выражения с предыдущим равенством, мы получаем уравнение непрерывности
dt
+ div (pv) = 0.
На основании (35.1)
- - VS0. и-
Поэтому (35.6) можно переписать в виде
dt
J-div(pVSo) = 0, или = v(VpVS0+pV2S0).
(35.6)
(35.7)
(35.8)
Таким образом, рой частиц движется, как жидкость. Занимаемый им объем не «расплывается», а только деформируется.
Уравнения (35.8) можно истолковывать и иначе. Если мы разделим число частиц ДN в объеме ДК на общее число частиц N,
§ 35} УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА И УРАВНЕНИЕ ГАМИЛЬТОНА-ЯКОБИ 143
то ДN/N можно рассматривать как вероятность найти частицу в объеме ДК, а плотность р — как плотность вероятности.
Обратимся теперь к квантовой механике. Покажем, что временное уравнение Шредингера
ih -f( = /fy, Н = - V2 + U (х, у, г, t) (35.9)
ведст приближенно к тем же результатам, что и рассмотренное уравнение Гамильтона — Якоби. Для этого предстазим волновую функцию г|) в виде
г|) = ?— , (35.10)
где S —некоторая искомая функция. Замечая, что
_Ail* _ JLfilV
дх П дх дх* Ш\дх j V П дхз
мы получим, подставляя (35.10) в (35.9), уравнение для функции S:
(35.11)
Разложим теперь S по степеням ih:
S = S0 + (ih) Si + (ih)2St + ... (35.12)
Подставляя (35.12) в (35.11) и сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях h, мы получаем уравнения
Т = i [Ш* + ш+(§"Л+и <*¦ «•0- <35-13>
d-Sj___1 f о dS() OSi . су dS0 dSi . q dS0 dSj . с I_
dt ~ 2|л i dx dx ‘ dy dy ‘ dz dz ‘ oj —
= ~[2VS0VSx + V*S0] (35.13')
И Т. Д.
Первое из этих уравнений совпадает с уравнением Гамильтона—Якоби (35.2), а второе, как легко видеть, совпадает с уравнением непрерывности (35.8). В самом деле, вероятность найти частицу в окрестности точки х> у, z есть
p = |t|>|a=*2Si + ...e (35Л4)
Отсюда
VP = 2VS^S1 + ..., = +
Поэтому, умножая уравнение (35.13') на 2e2Si, мы получаем
уравнение непрерывности (35.8).
144
СВЯЗЬ С КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКОЙ И ОПТИКОЙ
[ГЛ. VI
Остается выяснить вопрос об области применимости полученного приближенного решения уравнения Шредингера. При переходе от (35.11) к уравнению (35.13) мы отбросили член это возможно сделать, если
ift
2^Г
V2S„
(35.15)
Пользуясь (35.1), это неравенство можно записать в виде
! div р |.
(35.16)
Это неравенство означает, что кинетическая энергия должна быть велика, а изменения импульса | div р | малы. Для одного измерения получим
dp
р2>Й
dx
2л/г
Вводя длину волны де Бройля -------------, находим
dk
dx
Р
<!2л,
(35.16')
(35.17)
т. е. длина волны должна медленно меняться в функции координаты.
§ 36. Квантовая механика и оптика
Исторически одним из истоков квантовой механики послужили параллели, установленные Гамильтоном между геометрической оптикой и механикой. Эти забытые аналогии были привлечены де Бройлем в современную физику, и с их помощью были сделаны первые шаги квантовой (волновой) механики. Часто говорилось, что Шредингер построил механику, аналогичную волновой оптике.
Аналогии часто помогают решению той или иной физической проблемы, по все же остаются только аналогиями. Окончательно написанное Шредингером уравнение не совпадает пи с одним из ранее известных уравнений для распространения волн. Эти последние — всегда уравнения второго порядка по времени, в то время как уравнение Шредингера — первого порядка по времени; имеются и другие отличия.
