Основы квантовой механики - Блохинцев Д.И.
Скачать (прямая ссылка):
Р, т.... = L (а, р, у» • • •) ЧЧ Р. у....»
Мфа.р,* ...=Л4 (а> Р> Y» •••HVp.Y,:..,
р, y. ... = N (а> V» • * *) ta, р, Y. ...»
(28.5)
Эти уравнения совместны, если
[L Af] = [L, Л/]' = [УИ, $] = ...= О, (28.6)
т. е. если величины L, М, Ny... одновременно измеримы. Далее, чтобы определить по измеренным L, М, N, ... параметры a, р, Y, нужно решить / таких уравнений:
L-=L (а, р, у, ...), М =М (а, р, у, ...), N=N (а, р, у, ...)••¦. (28-7)
при этом ни одно из них не должно быть следствием другого, т. е. величины L, М, Л/, ... должны быть независимыми1).
§ 29. Сохранение числа частиц
Из уравнения Шредингера можно получить закон сохранения числа частиц, выражаемый уравнением непрерывности
J+ciivj-O, ‘(29.1)
где w — средняя плотность числа частиц в точке л*, у у г, а j — средняя плотность потока частиц.
Для того чтобы получить это уравнение, возьмем уравнение Шредингера сначала для простого случая потенциальных сил (28.4)
+ (29.2)
Уравнение для комплексно сопряженной функции будет
- ih ^ (29.2')
Умножая уравнение (29.2) на я|)*, а (29.2') на ф и вычитая второе уравнение из первого, получим
Ш
*) Эти параметры могут быть непрерывными или дискретными. В простейшем случае разделяющихся переменных такая функция имеет вид Ни. у.... (X, у, г) = иа (х) y(J (?/) Kly (г) ....
122
ИЗМЕНЕНИЕ СОСТОЯНИЯ ВО ВРЕМЕНИ
[ГЛ. IV
Это равенство может быть переписано в виде
(1|л])*) = г~ div -im*)- (29.3)
есть плотность вероятности w:
^ = (29.4)
Если через j обозначить вектор
j = (29.5)
то уравнение (29.3) запишется в форме
J + divj = 0. (29.6)
Отсюда следует, что вектор j есть вектор плотности тока вероятности. Уравнение (29.6) получает более наглядное толкование, если заметить, что ^ может рассматри-
ваться так же, как средняя плотность частиц. Тогда j следует рассматривать как средний поток частиц через площадь в 1 см2 в 1 сек. В соответствии с этим уравнение (29.6) нужно толковать как закон сохранения числа частиц. В частности, интегрируя (29.6) по некоторому конечному объему V и применяя теорему Гаусса, получаем
wdv = — div ]dv =— ^ j„ ds, (29.7)
V V s .
где последний интеграл взят по поверхности S, охватывающей объем V. Распространяя интегрирование по всему пространству (\/^оо) и имея в виду, что волновые функции oj), а вместе с тем и плотность тока j обращаются на бесконечно удаленной поверхности в нуль1), мы находим
~^wdv = ^ty*tydv = 0, (29.8)
ОО оо
т. е. полная вероятность найти частицу где-либо в пространстве не зависит от времени. Следовательно, число частиц остается неизменным. Вместе с тем (29.8) утверждает, что нормировка волновых функций не меняется с течением времени, положение, о котором мы уже упоминали в § 10.
2) В случае, когда функции г|э неинтегрируемы, интеграл ^ jn ds может и не обратиться и нуль даже по бесконечно удаленной поверхности. Физически это означает существование потока частиц из бесконечности или в бесконечность.
СОХРАНЕНИЕ ЧИСЛА ЧАСТИЦ
123
Умножим j и w на массу частицы ji:
p(t = (.ш = ц I г|) |2, jn=j(il)Vi|)*-i|3*VTl)). (29.9)
Тогда pJL имеет смысл средней п лот поста вещества (массы), a —
средней плотности тока вещества (массы). Из (29.6) следует, что эти величины подчиняются уравнению непрерывности
^! + divjV = 0, (29.10)
т. е. изменение массы в некоторой бесконечно малой области обусловлено втеканием или вытеканием этой массы через поверхность, ограничивающую эту область.
Подобным же образом, умножая w и j на заряд частицы е> получим среднюю плотность электрического заряда и среднюю плотность электрического тока:
ре = ew = е 1112, }е ^ (ipVt|)* — \|)*Vi|3), (29.11)
для которых опять-таки получается уравнение непрерывности
~ + div j,, = 0. (29.12)
Уравнения (29.10) и (29.12) выражают закон сохранения массы и заряда в квантовой механике.
Если представить волновую функцию 'ф в виде
г[> — uei&, (29.13)
где гг —действительная амплитуда, а © — действительная фаза, то подстановка (29.13) в (29.5) дает
j = А „2?0> (29.5')
Так как и2 есть плотность ш, то величина --V0 может быть ис-толкована как средняя скорость в точке л*, у, г:
v = ^-V0, (29.14)
Тг ~
а величина — 0 — как потенциал скорости.
Из формулы (29.5') с особой ясностью видно, что плотность тока j отлична от нуля лишь в том случае, когда состояние описывается комплексной функцией гр.
При наличии магнитного поля описываемого вектором-потенциалом А (Ж = rot А), формула для плотности тока j должна
124 ИЗМЕНЕНИЕ СОСТОЯНИЯ ВО ВРЕМЕНИ [ГЛ. IV
быть видоизменена1). Именно, при наличии магнитного поля вместо (29.5) получается выражение для плотности тока:
j ^ [-^ViJj* — -ф* Vtfi] — А-ф^гр. (29.5")
Чтобы получить это выражение, следует подставить в уравнение Шредингера (28.3) гамильтониан (27.9) для движения в произвольном электромагнитном поле. Производя эту подстановку, находим уравнение Шредингера для этого случая:
Л Ы = - ^ + ]t AV^ + ?divA^+2^ An[) + + Ux\)
(29.15)
и для сопряженной функции
- » т — I v’4>* - i,1 AV4>* - '$ div A'l>* +
+ ~Л211;* + <?1Л|)*+?Л1)*. (29.16)
Умножим опять первое уравнение на гЬ*, а второе на -ф и вычтем второй результат из первого. Тогда получается
