Основы квантовой механики - Блохинцев Д.И.
Скачать (прямая ссылка):
Это есть условие квантования по старой, полуклассической теории
Бора. Появление 1/2 в этой формуле несущественно, так как,
строго говоря, классическое приближение справедливо лишь тогда, когда п'^> 1 (условие малости длины волны).
Глава VII
ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ
§ 38. Различные представления состояния квантовых систем
Как мы видели, для квантовой механики характерно, что одновременное употребление ряда классических корпускулярных величин (рх и х, Т и U, Мх и Ми и т. п.) теряет всякий смысл, так как в природе не реализуются такие ансамбли, в которых приведенные пары величин существовали бы одновременно.
Поэтому в отношении каждой квантовой системы все измерительные приборы могут быть разбиты на группы. Приборы одной из таких групп сортируют частицы (или системы) ансамбля по признакам, исключающим сортировку по признакам, характерным для какой-либо другой группы измерительных устройств. Так, например, если мы имеем дело с частицами, координаты центра тяжести которых суть х, у, г, то мы легко можем выделить две группы приборов; к первой группе можно отнести приборы, анализирующие ансамбль таких частиц по координатам л*, у, 2 и по любым функциям от них F (х, у, г) (например, по потенциальной энергии U (х, у, г)), а к второй группе — устройства, анализирующие ансамбль по импульсам pXl ру, pz или по любым функциям Ф (рх, ру, рг) от них (например, по кинетической энергии Т (рху Ру, Рг)). Возможны и другие группы приборов.
До сих пор мы изображали состояние частиц волновой функцией яр (х), беря в качестве переменной координату частицы х (простоты ради, в дальнейшем мы употребляем лишь одну координату х).
Сортировка частиц по координатам х производится устройствами, исключающими сортировку по рх (далее будем писать просто р вместо рх). Представим себе, однако, что мы интересуемся сортировкой частиц не по их координатам л*, а по их импульсам. Тогда нужно взять прибор, анализирующий ансамбль по р, а не по х. Между тем волновая функция ф, описывающая ансамбль, взята как функция х. Нельзя ли описать состояние ансамбля так, чтобы волновая функция была функцией импульса р?
§ 38] РАЗЛИЧНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ СОСТОЯНИЯ КВАНТОВЫХ СИСТЕМ 153
В первом случае мы будем говорить, что состояние отнесено к прибору, анализирующему ансамбль по координатам частиц х (первая «система отсчета»), во втором случае —к прибору, анализирующему ансамбль по импульсам р (вторая «система отсчета»). Коротко говорят: состояние дано в «^-представлении или состояние дано в «р»-представлении *).
Найти «р»-представление очень легко. Пусть нам дана волновая функция яр (х, t) («^-представление). Разложим эту функцию по собственным функциям оператора импульса ярр (дг) (т. е. в интеграл Фурье), тогда
if (х, t) = jj С (р, 01|)р (х) dp, (38.1)
с (р, /) = $ т|) (х, t) i|)p (х) dx. (38.2)
Если мы знаем амплитуды с (р, /), то мы знаем и яр (х, /), задание с(р> t) вполне определяет яр (х, t). Поэтому с(р, t) можно рассматривать как волновую функцию, аргументом которой является импульс р. Эта функция изображает физически то же состояние частицы, что и функция я|)(x,t). Формулу (38.1) следует рассматривать как преобразование волновой функции от «р»-представ-ления к «^-представлению, а (38.2) —как преобразование от
«^-представления к «р»-представлению.
Рассмотрим теперь представление состояния, когда за независимую переменную взята энергия частицы ?. Пусть, для определенности, ? имеет дискретный спектр значений: ?ь ?2, ..., ?„,________
Соответствующие собственные функции обозначим через яр^х), ip2(*), ..., ярп(х),__ Волновую функцию яр (х9 t) мы можем пред-
ставить в виде ряда
\\> (х, t) = 2 Сп (() 1|з„ (х), (38.3)
П
сп (0 = ^ 'Ф (*. t)^(x)dx. (38.4)
Опять-таки задание всех амплитуд cn(t) вполне определяет яр(х, t). Обратно, задание яр (х, /) определяет cn(t). Поэтому совокупность всех сп (t) можно рассматривать как волновую функцию, описывающую то же состояние, что и яр (х, /), но в представлении, в котором за независимую переменную взята энергия2) ?.
С этой точки зрения формула (38.3) есть преобразование волновой функции от «Е»-представления к «^-представлению. Формула
(38.4) есть формула обратного преобразования. Из формул (38.1),
(38.2), (38.3) и (38.4) следует, что вероятность найти какое-либо
2) Следует читать: «координатное представление», «импульсное представление».
2) В полной аналогии с с(р, t) вместо cn(t) (/2=1, 2, 3, ...) мы могли бы писать: с (?, /) (? = ?„ ?2, ..., ?я, ...).
154 ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ [ГЛ. VII
значение независимой переменной равна квадрату модуля волновой функции в соответствующем представлении. В самом деле, пусть имеется некоторое состояние яр (х, t), тогда вероятность w(x, t) найти значение координаты, лежащее между х и x + dx, будет
w (х, t)dx = | яр (х, t) |2 dx. (38.5)
Вероятность w(p, t) dp найти импульс р между р и р + dp будет
w (р, t) dp = | с (р, t) |2 dp. (38.6)
Вероятность найти энергию w (Еп, t) равной En будет
w(En, t)^\cn(t)\* = \c(En, t)\\ (38.7)
§ 39. Различные представления операторов, изображающих механические величины. Матрицы
