Основы квантовой механики - Блохинцев Д.И.
Скачать (прямая ссылка):
iHd ^ div (^* — *i|)V\|)*) +
+ ^ {div А (^) + А (ГЩ* + W)}-
{.1C
Выражение в фигурных скобках может быть преобразовано следующим образом:
div Аг|;*я|) + A (^*V^ + \|?Vi|)*) — div Aip*ip + AV (ф*г|0 = div (Аф*я|)).
Подставляя этот результат в предыдущее выражение и деля на iftt получаем
+ div ^Vl)5* ~ Аг|)>| = 0. (29.17)
Это и есть уравнение непрерывности при наличии магнитного поля, описываемого вектором-потенциалом А. Выражение в фигурных скобках должно быть плотностью тока j; оно совпадает с (29.5").
Справедливость уравнения непрерывности тсснейшим образом связана с самосопряженностью гамильтониана Н. Это свойство гамильтониана было неявно использовано нами при выводе (29.5)
3) Видоизменение обусловлено тем, что при наличии магнитного поля операторы PXt Pyt Р2 суть операторы обобщенного импульса, а не обычного (произведение массы на скорость). Так же обстоит дело и в классической механике. (Ср. дополнение VI, формула (10').)
§ 301 СТАЦИОНАРНЫЕ состояния 125
и (29.17). В дополнении VIII более подробно рассмотрена эта сторона дела и показано, каким образом из требования самосопряженности оператора Н вытекают требования к поведению волновой функции в особых точках (§ 20), обеспечивающие справедливость уравнения непрерывности во всем пространстве.
§ 30. Стационарные состояния
В отсутствие переменных внешних полей гамильтониан Н не зависит от времени и совпадает с оператором полной энергии Н (х). В этом случае уравнение Шредингера
cf-^ = H(x)^(x, t) (30.1)
имеет важные решения, получающиеся путем разделения переменных х и /:
Ч>(*. 0 =,Ч> (*)/(*)¦ (30.2)
Подставляя (30.2) в (30.1) и обозначая постоянную разделения
переменных через Е, мы получаем
ih% = Ef, (30.3)
Н (х) г|> (х) = Ety (х). (30.4)
Первое уравнение решается сразу:
f (t) = const • е 1 * . (30.5)
Что же касается второго уравнения, то, как видно, оно совпадает с уравнением для собственных функций оператора энергии *) Н. Если обозначить эти функции через (х), а собственные значения через Еп (для определенности мы берем случаи дискретного
спектра энергии), то окончательное решение (30.2) запишется
в виде
$„(*, t)=^n(x)e h . (30.6)
Отсюда следует, что состояния с определенным значением энергии Е., ((&Е)2 = 0) гармонически зависят от времени с частотой, равной
ю» = Т- <30'7)
!) Уравнение (30.4) получается из общего уравнения (20.2), если там положить L = H, L = ?.
126
ИЗМЕНЕНИЕ СОСТОЯНИЯ ВО ВРЕМЕНИ
[ГЛ. IV
Этот результат распространяет соотношение де Бройля ? = Йсо, применявшееся первоначально к свободному движению, на любые системы.
Состояние (30.6) с определенным значением энергии по причинам, которые сейчас выяснятся, называют стационарным. Уравнение же (30.4) называют уравнением Шредингера для стационарных состояний. В силу линейности уравнения (30.1) его общее решение г|)(х, t) может быть представлено как суперпозиция стационарных состояний с произвольными, но постоянными амплитудами, именно,
-iEJ-
^(*. 0 = I!cA(*)e h • (30.8)
Амплитуды cn определяются через начальную функцию \|) (х> 0). В самом деле, в силу ортогональности функций г|эл имеем
сп = $ г|э (х, 0) ФЛ (х) dx. (30.9)
Вычислим теперь вероятность местоположения частицы wn (х, t) и плотность тока вероятности \п (х, t) в /г-м стационарном состоянии. Согласно (29.4) и (29.5) имеем
Wn{x, ОН'Ы*. t)\2 = №(x, t)ty„{x, i), jп(х, t) = ~{$n(x, t)^n(x, t)-№(x, OV'M*. 0}-Подставляя сюда (xy t) из (30.6), находим, что
wn(x, t) = wn(x, 0), (30.10)
Jn(x, t) = ]n(x, 0), (30.11)
т. e. в стационарных состояниях вероятность местоположения частицы и плотность тока вероятности не зависят от времени.
Отсюда же (имея в виду (29.11)) следует, что в этих состояниях средняя плотность электрических зарядов ре и средняя плотность электрических токов ]е не зависят от времени.
Таким образом, система, находящаяся в состоянии с определенной энергией Еп((АЕ)2 = 0), представляет собой систему статически распределенных зарядов и постоянных токов.
Характеристика стационарных состояний будет более полной, если мы обратим внимание читателя на то, что в стационарных состояниях вероятность w (L) нахождения какого-нибудь значения L любой механической величины (не зависящей явно от времени) не зависит от времени. Вместе с тем и среднее значение L является постоянным. Для доказательства этого положения
§ 301 СТАЦИОНАРНЫЕ СОСТОЯНИЯ 127
воспользуемся формулой (22.14)
w(L) = \c(L) I*.
где c(L) есть амплитуда в разложении ^ (х, t) по собственным функциям ^i (х) оператора L, представляющего величину L. Согласно (21.16) имеем для стационарного состояния ^п(ху t) (30.6)
-М
с (L) = \ ip? (х) i|>„ (х, t)dx = e л 5(*) 'Фп W dx и, следовательно,
w (L) = j с (L) \2 = | ^ 'ф* (х) 'фл (лг) dx |2 = const. (30.12)
Глава V
ИЗМЕНЕНИЕ ВО ВРЕМЕНИ
МЕХАНИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН
§ 31. Производные операторов по времени
Уравнение Шредингера позволяет установить простые правила, следуя которым можно вычислить изменение среднего значения той или иной механической величины за бесконечно малый промежуток времени, иными словами, вычислить производную по времени — I от среднего значения Z некоторой величины L.
