Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Блохинцев Д.И. -> "Основы квантовой механики" -> 57

Основы квантовой механики - Блохинцев Д.И.

Блохинцев Д.И. Основы квантовой механики — Наука, 1976. — 664 c.
Скачать (прямая ссылка): osnovikvantovoymehaniki1976.djvu
Предыдущая << 1 .. 51 52 53 54 55 56 < 57 > 58 59 60 61 62 63 .. 229 >> Следующая

Для того чтобы изображение состояний яр в разных независимых переменных получило полную- законченность, нужно еще найти способ представления операторов в тех же переменных. Между тем до сих пор мы рассматривали операторы L как «функции» х, считая, что L имеет вид L[-- ih~, x^j. В этом
случае оператор L действует на функции вида яр (х) и производит новую функцию ф (х) по формуле
ср (-V) == t[— ih ~, х) ф (х). (39.1)
Поэтому можно сказать, что мы брали оператор L в т-представлении.
Найдем теперь оператор L в энергетическом представлении («?»-представление), считая, что энергия имеет дискретный спектр значений Еп. Соответствующие собственные функции пусть будут ярл(х). Тогда функции ф и яр можно представить в виде
(39.2)
п
ф (39.3)
п
Совокупность сЛ есть яр в «/^-представлении, а совокупность Ьп есть ф также в «?»-представлении. Оператор L переводит яр в новую функцию ф, а вместе с тем и сп в новые амплитуды Ьп. Если мы найдем оператор, который бы непосредственно выражал Ьп через спу то тем самым мы найдем оператор L в «?»-представлении. Для этой цели подставим яр и ф из (39.2) и (39.3) в (39.1). Тогда
РАЗЛИЧНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ОПЕРАТОРОВ
155
мы получаем
Yi (х) = 2 CnU?n (х).
(39.4)
Умножая (39.4) на г|)*, (х) и интегрируя по всему пространству х, мы получим в силу ортогональности функций (*)
где
LmnCn,
П
Lmn = \ (*) L\рп (X) dX.
(39.5)
(39.6)
Зная все величины Lmn, мы.можем по формуле (39.5) найти все амплитуды Ьп (функцию ф в «?»-представлении) по заданным сп (т. е. по функции г|э в «^-представлении). Поэтому совокупность всех величин Lmn следует рассматривать как оператор L в ^-представлении.
Эту совокупность можно расположить в виде квадратной таблицы
1 =
ill Li2 L13 . • • Lm • • •
L-л ^22 ^23 • ' * ^'14 • • •
Lmi Lnvi Lm3 • • • Lmn •••
(39.7)
имеющей бесконечное число строк и столбцов. Такая таблица называется матрицей. Величины Lmn называются матричными элементами. Каждый матричный элемент имеет два индекса1). Первый есть номер строки, второй — номер столбца. Безразлично, как мы располагаем в такой матрице строки и столбцы. Но в каждом расчете необходимо, конечно, соблюдать одно определенное расположение. Мы условимся нумеровать строки и столбцы в порядке возрастания собственных значений:
< Ео^Е3^ ... ^ Еп ^ ...
Можно найти представление операторов L и в том случае, когда независимая переменная имеет непрерывный спектр значений.
г) Часто применяются другие обозначения матричных элементов, введенные Дираком, именно, пишут
(т | L\n) вместо Lmn,
или еще подробнее:
(Em | L | Еп) вместо Lmn.
В этом последнем обозначении указывается не только оператор (?), которому принадлежит матричный элемент, но и представление, в котором он берется (?), и, наконец, номера собственных значении т и п, которым принадлежит матричный элемент. Такое обозначение особенно удобно в случае вырождения (§ 21), когда волновые функции характеризуются несколькими индексами.
156
ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ
[ГЛ. VII
ИЛИ
где
Обратимся в качестве примера к «/^-представлению. В полной параллели с (39.2) и (39*3) имеем
^ М = \ с (р) я|)р (*) dp, (39.2')
Ф М = \ь (Р) % (х) dP, (39.3')
с(р) и b (р) суть функции ip и ф в «р»-представлении. Найдем связь между с(р) и Ь(р). Подставляя (39.2') и (39.3') в (39.1), получаем
Л Ъ (р) -фр (х) dp = \c (p)l % (х) dp. (39.4')
Умножая это уравнение на typ (х) и интегрируя по х, в силу ортогональности функций i|)p (х) найдем
$Ь (р) 8 (р' -p)dp = \c (p}dp J г):р L ^ dx,
b (Р') ~ S Lp'pC (р) dp, (39.5')
Lp'p — L(p', р) = $ typ (х) L% (х) dx. (39.6')
Величины LP'P характеризуют оператор L в «/^-представлении. Они зависят от двух переменных р' и р, пробегающих одни и те же значения. LP'P по-прежиему будем называть матричным элементом оператора Lb «/^-представлении, а всю совокупность значений LP'P — матрицей. Ясно, что в этом случае мы не можем изобразить LP'P в виде таблицы. Тем не менее и в этом случае рг будем называть номером строки, а р — номером столбца.
Мы видим, что в произвольном представлении операторы изображаются матрицами1). В «^-представлении мы имели операторы в виде дифференциальных операторов. Однако можно показать (см. § 40), что и в этом представлении операторы можно записать в матричной форме.
§ 40. Матрицы и действия над ними
В матрицах мы отличаем среди всех элементов так называемые диагональные элементы. Диагональными элементами называются матричные элементы, номер строки которых
3) В самом деле, под Е или р можно понимать любую величину L, имеющую дискретный или, соответственно, непрерывный спектр значений. В общем случае под Е или р можно понимать цел^ю совокупность независимых, одновременно измеримых величин М, N, ....
МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ
157
равен номеру столбца, т. е. элементы вида Lnn. В случае непрерывного спектра диагональными элементами называют элементы вида Lpp. Если матрица имеет только диагональные элементы, то ее называют диагональной матрицей. В случае дискретного спектра такая матрица имеет вид
Ln 0 0 ... О о l22 о ... О
Предыдущая << 1 .. 51 52 53 54 55 56 < 57 > 58 59 60 61 62 63 .. 229 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed