Основы квантовой механики - Блохинцев Д.И.
Скачать (прямая ссылка):
H = ~(Pl + Pl + Pl) + U(X, Y, Z, t). (32.3)
Рассматривая волновую функцию как функцию координат частицы х, у, г и времени t, имеем следующие выражения для
') Мы ограничиваемся рассмотрением движения в декартовой системе ^ординат. Об уравнениях в криволинейной системе координат см. дополне-
Ср. дополнение VI, уравнение (5).
132
ИЗМЕНЕНИЕ ВО ВРЕМЕНИ МЕХАНИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН
[ГЛ. V
операторов:
Х = ху Y = y, Z = z,
Р -—ih- Р - —Л- P — — iti- (32-4)
1Пдх’ ду' Гг~ шдг'
Вычислим теперь оператор Имеем
[Й, X] = Vh (ХЙ-ЙХ) = ^(ХП-Р1Х), (32.5)
так как X коммутирует с Р,„ РU (х, у, z, t). Правило перестановки операторов X и Рх (24.2) дает
Р1Х = Рх (РхХ) = Р, (ХРх - Щ = (РхХ) Рх - ШРХ =
= (ХРх - ih) Рх - if:РХ -- ХР- - 2ihPx. (32.6)
Подставляя это выражение в (32.5), находим
[Н, (32.7)
Для //, г, очевидно, получим аналогичный результат; поэтому
(32.8)
dX __ Рх dY _РУ dZ ________Р2
dt \х 1 d( \i ' dt |i *
т. e. оператор скорости равен оператору импульса, деленному на мпссу частицы ц. Иными словами, связь между операторами скорости и импульса такова же, как и связь между соответствующими величинами в классической механике.
d Р
Найдем теперь оператор Из (32.2') и (24.4) имеем
[Я, Р,j = A (PXU - UPX) =-fx, (32.9)
т. е.
df\_______OU dPy___________dU /09 1m
dt ~~ dx 1 dt dy ’ [dt dz * V ~* /
„ dU __ rlU _ dll dx ’ dy ’ dz
e к ц и й силы *). Так что (32.10) можно переписать также в виде
(1х , ^ , дг суть не что иное, как операторы про-
т. е. оператор производной по времени от импульса равен оператору силы. Поэтому (32.10) можно рассматривать как уравнения Ньютона в операторной форме.
*) Эти операторы являются попросту функциями координат.
§ 33] ИНТЕГРАЛЫ ДВИЖЕНИЯ 133
Если мы вычислим среднее значение от величин^-, ~~ит. д.
в каком-нибудь состоянии я|), то из (32.8) и (32.10) на основании
(31.8) получаем
§=»«=>• <з2л2)
#-37<Ы — я-F. (32-13)
и т. д. Иначе говоря, производная по времени от средней координаты л* равна среднему импульсу, деленному на массу частицы, и производная от среднего импульса рх равна средней силе Fx. В раскрытой форме равенства (32.12) и (32.13) имеют вид
— ^ dx = у ^ Р*я|) dx, (32.12')
•jt- § VP A d* = — dx. (32.13')
Они носят название теорем Эренфеста. Дифференцируя
(32.12) по времени и исключая из (32.12) и (32.13) полу-
чим квантовое уравнение Ньютона
д2х ди р /ог. «
^ дх " х* (32.14)
§ 33. Интегралы движения
В квантовой механике мы имеем те же интегралы движения, что и в классической. Величина L будет интегралом движения, если
^ = ^ + [нЛ]^о. (зз.1)
OcoQniii интерес представляет случай, когда величина L не зависит явно от времени; тогда вместо (33.1) имеем
4^ = [яД]=н0, (33.2)
т. е. для интегралов движения (не зависящих явно от времени) квантовая скобка Пуассона равна нулю.
Так как I Я, Ц определяется коммутатором оператора L и оператора Гамильтона, то всякая величина L, не зависящая явно от времени, будет интегралом движения, если ее оператор коммути-Р>ет с оператором Гамильтона.
134 ИЗМЕНЕНИЕ ВО ВРЕМЕНИ МЕХАНИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН [ГЛ. V
Из формул (33.1) и (33.2) следует, что среднее значение интегралов движения не зависит от времени
A(Z) = °. (33.3)
Покажем теперь, что и вероятность w (Ln, t) найти в момент времени t какое-нибудь значение интеграла движения, равное, скажем, L„, не зависит от времени1).
Так как операторы L и Н коммутируют, то они имеют общие собственные функции %,(*):
Ltyn = Ln%, (33.4)
Щ>» = ?„Ч>„. (33.4')
Разложим произвольное состояние г|) (л:, t) по собственным функциям 1)5,Эти функции суть функции стационарных состояний, поэтому (ср. (30.8))
. Ent_
ИЛИ
я|? (дс, /) = 2](0 Ч>* (-V), (33.6)
П
где
_• _. Еtit
cn(t)=cne ,l~ = сп (0) с к~- (33.7)
Разложение (33.6) есть разложение (х, t) по собственнным функциям оператора L, поэтому
w (L„, t) = \cn (t) |2 = | cn (0) |2 = const. (33.8)
Вид интегралов движения зависит от рода силового поля, в котором движется частица. Для свободного движения силовая функция U (л*, //, z, t) =0 и гамильтониан будет равен
H = f = ±(Pl+Pi+Pi). (33.9)
Как и в классической механике, в этом случае интегралом движения, т. е. сохраняющейся величиной, является импульс, действительно,
[н, Рх] = I[Н, Ру] = [Й, Рг\ = О, (33.10)
W-0, -jf — о, # = 0. (33.11)
1) Речь идет об интегралах движения, не зависящих явно от времени.
§ 331
ИНТЕГРАЛЫ ДВИЖЕНИЯ
135
В поле центральной силы имеет место закон площадей — момент импульса есть интеграл движения. В самом деле, в поле центральной силы потенциальная энергия U есть функция расстояния от центра силы: U (г). Поэтому для этого случая гамильтониан
Операторы квадрата момента импульса УИ2 и его проекций Мх,
щпй в (33.12), коммутирует с Мх, Му и Mz (см. (25.6)). Поэтому все четыре названных оператора коммутируют с Н (33.12) так,
что
Таким образом, момент импульса в поле центральных сил есть интеграл движения.
Применим теперь равенство (33.1) к гамильтониану. Полагая L = 1I, получаем
Однако в этом случае гамильтониан совпадает с оператором полной энергии. Поэтому (33.16) выражает тот факт, что полная энергия в поле сил, не зависящих от времени, есть ишпеграл движения. Иначе говоря, (33.16) выражает закон сохранения энергии в квантовой механике.
