Пространственная симметрия и оптические свойства твердых тел. Том 2 - Бирман Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Но группа ?(Xi) состоит из всех RL, таких, что
Xl-RL=2np (14.26)
(где р — целые числа), или
/! + /2 = 2р. (14.27)
Следовательно, мы можем записать разложение группы ? на смежные классы по ?№) в виде
Z = 2 (*,) + {в| *,}?(*,)• (14-28)
') В приложении В этот же вопрос рассматривается методами проективных представлений.
132
Глава 2
Соответственно смежные классы группы могут
быть представлены в виде
К.К}. К. | Ti + *i}' <14-29)
Заметим, что поскольку
Xi • *, = Xi • t2 = n, (14.30)
то
ехр(— iX{ • ti) = ехр(— iX{ • t2) = — 1. (14.31)
В равной степени в качестве представителя смежного класса в (14.28) можно взять {е|<2}- Главное то, что представитель смежного класса рассматривается как некоторый абстрактный (трансляционный) элемент, имеющий представление в виде диагональной матрицы с элементами, равными —1. Определим теперь абстрактную группу с помощью образующих элементов
Л = {64*1*1}, Я = {62„|0}, C = {i It,}, D = {e|f,}, Е = {г 10}
(14.32)
и соотношений
Л4 = .б2=С2 = 02 = ?, (14.33)
АВ = В А3, АС = DC A, BC = DCB, DA — AD,
DB — BD, DC = CD. (14'34)
Эта группа является расширением группы Difl. Характеры допустимых неприводимых представлений DW<т) группы ®(Xi)/Z(X{) должны удовлетворять соотношениям
%(Х,) (т) ({е | /1}) = ехр (— IX i • /1) x(jr,) (m) ({е 10}) =
= -Х<*.Н»>)({е|0». (14.35)
Следует отметить, что некоторые из соотношений (14.33) и (14.34) возникают благодаря тому, что мы определяем абстрактную малую группу ®(Xi)/X(Xi) с помощью групповых элементов, представляемых матрицами, обладающими нужными свойствами в пространстве блоховских векторов <т) (г), так что каждый элемент пространственной группы (т. е. любая трансляция), обладающий свойствами (14.30) и (14.31), может быть описан также как образующий элемент D при определении соотношений (14.33) и (14.34).
Таблица характеров группы, определенной в (14.33) и (14.34), может быть получена непосредственно путем определения классов, коэффициентов перемножения классов и последующим приведением обычными способами. В табл. 18а, взятой из работы [71], дается полная таблица характеров группы. Видно, что из четырнадцати неприводимых представлений
Теория пространственных групп алмаза и каменной соли
133
только четыре, для которых выполняется условие (14.35), являются допустимыми. Все эти представления /)(-*>) ?)(*,) (2)>
?){Х) (з)> (4) являются двукратно вырожденными. С физической
точки зрения это означает «слипание» энергетических поверхностей в этой точке, так что случай отсутствия вырождения невозможен. Напомним обсуждение вопроса о недопустимых представлениях в т. 1, § 40; это обсуждение применимо, в частности, в нашем случае для 10 недопустимых представлений.
Таблица 18а
Таблица характеров © (.Y,) для структуры алмаза 0\
'X ‘-Y. 'A\ ;.v, \v* :.v; :л; 2x: :x * !,V- ;A\~ :.vr :,V4~ \Yr
{*10} 2 2 2 1 1.1 1 2 11112
-2 - 2 -: - 11112 1 I 1 I 2
{й:>) 8: J0. /,.} 0 0 0 1 -i 1-1 0 1-1 1-1 0
{«bjo; 2 -2 - 2 1 1 1-2 1111-2
-2 -2 2 2 1 1 I -2 1 1 1 i -2
{<5.1 . • ^1» Tl . Г) + 0 0 0 0 1 1-1-1 0 1 1 - ! - I 0
0 0 2 - 2 1-1-1 1 U 1 - 1 - 1 1 0
{*b>: ! r) ! • ^ гд;} 0 0 2 1 - 1 - 1 1 0 1-1-1 1 0
Г; + 0 0 0 0 1 1 I 1 2 - 1 - 1 - 1 » ! - 2
\Р> ¦ Р! Г! - Tt + t,/t 0 0 0 U 1-1 1 - 1 (i - 1 1-1 1 0
и 0 0 0 1 1 1-2 - 1 - 1 - 1 -1 2
{<т.1д. <r4%] !0, r,v} 0 0 0 и 1 1 - 1 - 1 0 - 1 - 1 ¦! 1 0
2 _ 2 0 и 1-1-1 1 0 - 1 I 1 -i 0
-2 2 0 0 1-1-1 I (j - ! 1 i - I 0
Имея теперь в своем распоряжении допустимые неприводимые представления групп © (Г) /5? (Г), <8(Ли)/$(Ли) и ®(Li)/X(Li), мы можем построить таблицу характеров неприводимых представлений группы приведения 9J. С вычислительной точки зрения это означает просто применение (9.16) и (9.17) для получения характеров всех элементов группы Я, т. е. множества представителей
т = Ш*Р}, + k’plTp + Qb ...
<»„ I .„=(,+<?}, (14'36)
p=l, .... 48; /= 1, 2, 3.
Все эти характеры перечислены в табл. Б1 приложения Б. Используя эту таблицу, можно найти коэффициенты приведения с помощью уже знакомого нам правила для характеров (т. 1, 58.13); этот вопрос обсуждается ниже.
§ 15. Коэффициенты приведения
а. Произведения представлений D^r)^m), ("»>
для алмаза. Чтобы осуществить приведение прямых произве-
дений этих представлений, мы поступаем, как и в случае любой
134
Г лава 2
конечной группы, т. е. находим сначала характеры произведения, например №, затем приводим это произведе-
ние, используя правило (т. 1, 58.13) для определения отдельных коэффициентов приведения:
(*хз*;г41 *k"m") = — У № & (Г)Х(*Л) (Г) (т"» (Т)\
**7 (16.1)
*Г = Г или *Х,
где = 384 есть порядок Я, а Т—произвольный элемент группы SR. Легко находим, например,
?>(**) ® ® ?(**)(4) = D(F) (2+) © D(r) (2-) © D(r) <12+) ®
© ?><г> <12-> © D<r> <15+> ® D'r> <15~> ©
0 ?>(**> (» ф <2> ® ?(**) О) 0 ?>(**) (4). (15.2)
Таким способом, используя группу SR, можно найти все произведения подобного типа. Все эти вычисления были проделаны, и результаты представлены в табл. Б2.
б. Дополнительные коэффициенты приведения для алмаза.
