Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Бирман Дж. -> "Пространственная симметрия и оптические свойства твердых тел. Том 2" -> 42

Пространственная симметрия и оптические свойства твердых тел. Том 2 - Бирман Дж.

Бирман Дж. Пространственная симметрия и оптические свойства твердых тел. Том 2 — М.: Мир, 1968. — 351 c.
Скачать (прямая ссылка): prostranstvennayateoriyasemtelt21968.pdf
Предыдущая << 1 .. 36 37 38 39 40 41 < 42 > 43 44 45 46 47 48 .. 114 >> Следующая

однозначно приводится к прямой сумме неприводимых компонент [69]. Хотя при выводе (11.50) мы использовали лишь несколько элементов группы ©, однако в силу полноты и единственности приведения эта формула остается в силе для любого элемента взятого в качестве аргумента. Это обстоятельство можно использовать для проверки результатов приведения, выполненного этим способом.
С другой стороны, в тех случаях, когда можно осуществить разложение прямого произведения методом группы приведения (т. 1, § 58), условия ортогональности и нормировки для строк и столбцов позволяют проверить характеры для всех элементов группы приведения. Преимущество метода группы приведения заключается в том, что решается математически точно сформулированная и замкнутая задача; этот метод мы применим ниже при разложении прямых произведений D(r) (ш), ?К*ЛГ)(т),
?)(*?) т)
для структуры алмаза. Читатель, ознакомившийся с методом группы приведения, может попытаться получить (11.50) с помощью этого метода.
Что же касается метода линейных алгебраических уравнений, то мы видим, что для данной задачи приведения в рамках метода полной группы он представляет экономную процедуру для выполнения разложения. Иначе говоря, необходимо вычислить минимальный независимый набор характеров неприводимых представлений полной группы. Число необходимых характеров строго ограничено числом неизвестных коэффициентов приведения, т. е. конечным, малым числом. Например, в рассматриваемом случае нужно найти 20 коэффициентов. Все они полностью определяются не более чем пятнадцатью независимыми характерами для каждого из неприводимых представлений. Используя таблицы характеров для тех же 15 элементов, но с включением несобственных поворотов, т. е. комбинируя повороты с операцией инверсии », можно осуществить приведение любых произведений D^*x^ <m) <g> D^*x^ lm'K
Чтобы получить коэффициенты приведения для симметри-зованных степеней представлений, например [D( л)(ш)](2> или
122
Глава 2
[?>(**) <m)](3)>
мы используем формулы (т. 1, 54.16) и (т. 1, 54.21). При этом необходимо дополнительно найти характеры для элементов типа {фр|*р}, {фр|М2, {фр|М3- Используя имеющиеся уже характеры и формулу (9.17), мы можем легко получить нужные характеры.
Последнее замечание по поводу приведения. Может показаться, что для некоторого произведения, например (11.1), содержащего представления D{r) {т), имеются основания при выполнении приведения использовать только характеры смежных классов {фР|0}. Иначе говоря, можно было бы попытаться получить коэффициенты приведения а/, входящие с Д|Г) w, с помощью формулы (т. 1, 17.8) разложения характеров:
а, = у][>'>(ЯГх(Я). (11.51)
R
Разумеется, эту формулу можно использовать, если суммирование проводится по всем элементам R группы @. Тот же результат получится, если суммировать по элементам группы приведения 3? (см. ниже пример для алмаза). Однако никоим образом нельзя получить разумный результат, суммируя характеры произведения (первая строка табл. 12) по представителям смежных классов только группы sp. С педагогической точки зрения весьма важно осознать несостоятельность попытки провести вычисления таким способом; читатель должен здесь остановиться и проверить степень понимания этого вопроса.
§ 12. Приведение *?(3~> ® *L(3+) для решетки каменной соли
Рассмотрим второй пример процесса приведения. Мы снова воспользуемся методом полной группы и техникой линейных алгебраических уравнений. Займемся разложением произведения (11.2) — второго случая из § 11. Вследствие двукратного вырождения представлений <3+) и D(l>>(3-) правило длр волновых векторов принимает вид
2*Х®2*1=16Г016*ЛГ. (12.1)
Следовательно, для приведения произведения
?)(*?) (з+) ® д(*1) (з—)
необходимо найти 20 неизвестных коэффициентов. Так как каждая из рассматриваемых групп ®(k) содержит инверсию, в разложении (12.1) могут содержаться только нечетные представ-
Теория пространственных групп алмаза и каменной соли
123
ления. Введем сокращенные обозначения нужных коэффи-
циентов:
с\ = (| Г1 —), с2 = (I Г2 —), с3 = (| Г12 —),
с4 = (|Г15-), с5 = (| Г25 —); (12,2)
d, = (.|*Xl-), d2 = {\ *Х2 —), rf3 = (l *-*3 —),
d4—{ \ *Х4 —), d5 = (|**5-). ( }
Из (12.1) и табл. 4 и 10 имеем
ci “Ь с2 “Ь 2с3 + Зс4 + ЗС5 = 16, (12.4)
3rf1 + 3rf2 + 3rf3 + 3rf4 + 6rf5 = 48. (12.5)
В табл. 13 и 14 мы снова иллюстрируем процесс приведения.
Таблица 13
Иллюстрация приведения произведения D^ ^ ^3~* <§) D^ для группы 05h (характеры элементов из табл. 7 и дополнительных
элементов)
? * '"q 0 Ы N H n 0 H <N О 0^ H 0" =T> H СЧ 0 ч «4 О 0 я «О й| •о ч о м а> СЧ •о
1 ± 4 1 0 0 2 0 0 0 0 0
2± 4 1 0 0 —2 0 0 0 0 0
3± 8 -1 0 0 0 0 0 0 0 0
(3+)0(3-) 64 1 0 0 0 0 0 0 0 0
Указаны только собственные повороты, так как для несобственных поворотов нужно просто изменить знак. Используя четвертую строку табл. 13 и табл. 4, 10 и 14 и рассматривая элементы без трансляции, получим для ст и dm следующие уравнения:
Ci + c2— с3=1, (12.6)
ci~\~ с2 “Ь 2с3 — с4 — С5 —(— 3d] -(- 3d2 — d3 — d4 2d$ — 0, (12.7) C\ — c2 “b c4 c5 “b di — d2 — d3 + d4 — 0, (12.8)
Предыдущая << 1 .. 36 37 38 39 40 41 < 42 > 43 44 45 46 47 48 .. 114 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed