Пространственная симметрия и оптические свойства твердых тел. Том 2 - Бирман Дж.
Скачать (прямая ссылка):
= (т) ({*2* 10}) + зст ({62,10}) + х<*> («) ({62г 10}) =
= {т) ({Ь2Х 10}) + 2х<*‘> <»> ({Ь2у 10}), (9.23)
X(^)(M,({4I0}) =
= Х№)(т) «Ч 10}) + хш ш ({Ь2Х10}) + X™(т) №* 10}) -
- Х№) (т) «Ь2Х 10}) + 2зс<*> (-) ({*2, 10}). (9.24)
Следовательно, в неприводимом представлении полной группы
%(*х) (») ({Ь2х 10}) = Х{*х) (m> ({f>2y! о», (9.25)
что и должно быть, поскольку эти два элемента принадлежат одному и тому же классу полной группы @.
§ 10. Правила отбора по волновому вектору для решетки каменной соли
Используя материал, приведенный в табл. 4, 7 и 10, мы можем теперь найти правила отбора для всех переходов между состояниями, описываемыми неприводимыми представлениями
?)<г)(т)> ?)(*i) (т) и ?)(*х)(т)у поскольку, как мы сейчас увидим, эти представления образуют замкнутое множество. В качестве первого шага при определении общих правил отбора мы найдем, следуя т. 1, § 56, правила отбора по волновому вектору. В табл. 11 приведены правила отбора по волновому вектору
для прямых произведений представлений D(T)im), и
D(*х) (т)ш Используемые при этом выражения приведены в т. 1, § 56. Как видно, набор звезд Г, *L, *Х действительно является замкнутым, т. е. произведение любых двух звезд *k (g) *k' из этого множества содержит снова члены только этого же множества,
Теория пространственных групп алмаза и каменной соли 115
Таблица 11
Правила отбора по волновому вектору в группах Obh и 0\ для произведений векторов, принадлежащих Г, *Х, *L
Обычные Симметрированные
г®г = г и II
г®*х = *х [2Г](2) = ЗГ
Г 0 *L — *L [ЗГ](2) = 6Г
*Х = ЗГ02*Х [*?](2) = 4Г02*Х
= 3*L [2*1,](2)=12Г08*Х
*L®*L = 4r04*X [*Х](2) = ЗГ0*Х [2*Х](2) = 9Г04*Х т(3)=г [2Г](3) = 4Г [ЗГ](3)=10Г [*L](3) = 5*i [2*L](3) = 30*L [*Х](3) = Г03*Х [2*Х](3) = 8Г®1б*Х
§11. Приведение ® *Х(5_) для группы О^:
пример применения линейных алгебраических уравнений
Теперь мы займемся определением правил отбора. Два случая, которые будут рассмотрены ниже, представляют практический интерес с точки зрения анализа процессов второго порядка в инфракрасном поглощении и комбинационном рассеянии света. Кроме этих случаев, мы протабулируем результаты и для других правил отбора, которые тоже могут оказаться полезными. Если потребуются какие-либо дополнительные правила отбора, то описанные здесь методы дают возможность получить эти правила.
Первый из двух обсуждаемых случаев
® *Х(5-> (11.1)
рассматривается в этом параграфе; второй случай
*?<з->®*?(з+> (11.2)
обсуждается в § 12. Для получения коэффициентов приведения для этих произведений мы можем использовать любой из методов, описанных в т. 1, § 58—60 (или все эти методы). Здесь мы
116
Глава 2
воспользуемся методом линейных алгебраических уравнений, описанным в т. 1, § 57.
Таблица 12
Иллюстрация к процессу приведения: пример произведения 0 для группы Од
Исходная таблица характеров (см. табл. 10)
{е|0} {*3 xyz 1 °) {«2* 1 °} {•« | °} {*2ху 1 °}
(4-) 0(5-) 18 0 2 0 0
Дополнительная система характеров представлений д( х) (m) | дЛЯ неК0т0рЫХ выбранных элементов
m (&2х 1 М (&2* 1 *з} 1 Чу 1 *.} | М l&2yz | М
1+ -1 -1 -1 -I -1
2+ -1 -1 -1 1 1
3+ -1 3 -1 1 -1
4+ -1 3 -1 -1 1
5+ 2 —2 2 0 0
(4_)® (5-) -2 -6 —2 0 0
Получим прежде всего систему характеров для произведения представлений (11.1), приведение которого мы должны выполнить. Заметим, что в принципе нам необходимо найти характер каждого элемента {фР|^Р} полной унитарной группы ©. Следовательно, система характеров для этого произведения представлений, приведенная в табл. 12, является лишь частью системы характеров для полной группы ®. Полное приведение означает, что при любом {<pP\tP} выполняется соотношение
%{*х) <4-) ({фР I fP}) х(Ъс) (5"> ({ФР IМ) =
= Z (*x^*x^\*k"m")x(*k"){m")({<fp\tp})- (11.3)
*А", т"
Суммирование ведется по всем *к", разрешенным правилами отбора по волновому вектору, и по всем возможным т". Правила отбора по волновому вектору (табл. 11) показывают, что возможны только *k" = Г и *k" — *Х. Для каждой из этих звезд имеется по 10 неприводимых представлений (tn"). Следова-
Теория пространственных групп алмаза и каменной соли
117
тельно, для выполнения приведения (11.3) нужно знать следующие 20 коэффициентов:
(*Х(4_) *Х(5-) | Tm"), m"= 1 ±, 2 ±, 12 ±, 15 ±, 25 ±, (11.4)
(*Х<4-> *Х<5~> |* Хт"), т"= 1 ±, 2±, 3±, 4±, 5±. (11.5)
Коэффициенты (11.4) и (11.5) ограничены соображениями размерности, следующими из правил отбора по волновому вектору (табл. 11). Так, если 1т" ес:ь размерность представления D(r) (m ) или d(*x^ (т \ то
X (*XW-> 1 Тт") 1т" = 6 (11.6)
т"
И
? (*Х«-> *Х<5~ > | *Хт") 1т- = 12. (11.7)
т"
Теперь нужно построить необходимое число уравнений (9.3), чтобы полностью определить неизвестные коэффициенты (11.4) и (11.5). Поскольку мы должны определить 20 коэффициентов, нам нужно иметь максимум 20 независимых линейных алгебраических уравнений (11.3). [Как мы вскоре убедимся, ограничения (11.6), (11.7) и требование, чтобы коэффициенты
(*^(4-) *^(5-) | *k"m") были целыми числами, приводят к тому, что в действительности оказывается достаточно гораздо меньшего числа уравнений]. Чтобы дополнить исходный набор характеров представителей смежных классов, приведенный в табл. 4, 7, 10, и получить достаточное число алгебраических уравнений, мы должны добавить трансляции, т. е. рассмотреть элементы {<рР|#Р}, где tp = Rp (Rp— вектор трансляции решетки). Характеры полной группы, которые необходимо добавить, можно получить из (9.17) и (9.18). Заметим теперь, что операция инверсии i является операцией симметрии для всех трех рассматриваемых представлений, так что
