Пространственная симметрия и оптические свойства твердых тел. Том 2 - Бирман Дж.
Скачать (прямая ссылка):
([22П(2) |Г) = 24, (| Д0 = 6, (| Д") == 4, (| ДГ) — 4, (| АТ) = 8, (|2)=4, (|S") = 4 (1^1(2) I Г) = 24, (I к') — 24 3)
‘) Поскольку для всех /т=2, мы должны использовать две звезды во всех
случаях, когда (| ДГ) 0.
>) s" = (n, л, 0) (1/а).
3) Здесь Л—общий вектор зоны, для которого симметризованные квадраты содержат только общие векторы, за исключением Г.
Таблица 17
Правила отбора по волновому вектору для структуры каменной соли и алмаза: коэффициенты (3) ] kj )
(т(3)|Г)=1
([2Г] (3) | Г) = 4
([3Г](3)|Г) = Ю
([?](3)|?) = 5
(12Ь](3) | ?) = 30
([2Х](3)|Г) = 8, (|Х) = 16
((21F](3) | IF) = 26, (| Д) = 24, ( [ L) = 16
(1^1<3>1Г) = 8. (| /С) = 8, (IJV) = 2, (|2) = 2, (| S') — I, (|M)=4, (|Я) = 2, (|L) = 2, (I Д) = 4
Теория пространственных групп алмаза и каменной соли
127
коэффициентов приведения для структуры алмаза, содержит вполне определенную процедуру вычисления характеров. В методе группы приведения оказывается необходимым вычислить большее число характеров, но это цена, которую часто имеет смысл платить за возможность проверки вычислений на любой стадии.
Чтобы разложить остальные произведения для решетки каменной соли, необходимо получить все правила отбора по волновому вектору. Последние (одинаковые для пространственных групп алмаза и каменной соли) приводятся в табл. 15—17 для обычных и симметризованных произведений.
В табл. А1—АП приложения А даются полные сведения о коэффициентах приведения для обычных произведений и симметризованных квадратов и кубов неприводимых представлений пространственной группы решетки каменной соли 0\. Все эти коэффициенты получены методом линейных алгебраических уравнений.
Хотя эти результаты известны в литературе, мы приводим их здесь для полноты и удобства использования. Этими правилами мы воспользуемся в дальнейшем при детальном анализе оптических свойств некоторых кристаллов типа NaCl.
§ 14. Неприводимые представления 2)(Г) (ш\
DrX) (ш); DгL)(m) дЛЯ решехки алмаза
Пространственная группа алмаза о\ несимморфна; представители смежных классов для нее даны в (8.6). Поскольку группой трансляции, как и для Oh, является гранецентриро-ванная кубическая группа ?, полный набор волновых векторов, для которых ищутся неприводимые представления, а также зона Бриллюэна (фиг. 3) те же, что и для каменной соли. Следовательно, данные табл. 1—3 могут использоваться без всяких изменений.
Конечно, в остальном должны в общем случае возникать различия, так как множество представителей смежных классов {фр|тр} для решетки алмаза не является замкнутым. Чтобы добиться полной ясности в этом вопросе, проведем детальный анализ правил отбора для алмаза в тех же точках зоны, что и в случае каменной соли. Возникающие при этом различия отражаются как в структуре неприводимых представлений, так и в типах разрешенных «оптических переходов» (скажем, в ди-польном приближении), например в инфракрасном поглощении и комбинационном рассеянии света.
Мы воспользуемся здесь методом группы приведения. С точки зрения простоты и компактности вычислений
128
Глава 2
использованному выше методу линейных алгебраических уравнений можно было бы отдать предпочтение. Однако с формальной и педагогической точки зрения полезно использовать метод группы приведения, который в принципе является строгим (этим он отличается от процедуры линейных алгебраических уравнений, основанной на методе проб и ошибок) и тесно связан с гомоморфизмом полной группы неприводимых представлений абстрактной пространственной группе. С точки зрения строгости метод группы приведения имеет определенные преимущества, которые более чем компенсируют дополнительную работу по вычислению характеров. Мы будем следовать изложению т. 1, § 58, при анализе произведений, образованных «замкнутым» множеством представлений ?)(П(т)> /)(**) (т);
?)(*!) <т);
для структуры алмаза 0\. Конечно, методом группы приведения удобно пользоваться только в том случае, когда в замкнутом наборе перемножаемых представлений и получающихся прямых сумм содержится малое число представлений.
Первым шагом в методе группы приведения является определение ядра изучаемых представлений, т. е. ядра каждого из представлений, входящих в «замкнутое» множество произведений представлений D(r> (m), D^x^(m), ?)(**¦) <т>. Ядро представления — это множество элементов группы @, которые отображаются на матрицу, представляющую тождественный элемент {е10}. Обозначим ядра рассматриваемых представлений ^(*x)(m)j ?(*i)(m)# Тогда, очевидно,
Л(Г)(т)==г> (14.1)
т. е. для точки Г вся трансляционная группа отображается в тождество.
Для звезды *Х группа состоит из всех трансляций
Rl, удовлетворяющих условиям
Хх • RL = 2яр,
Х% * Rl — 2nq,
Х3 • Ri — 2яг;
здесь р, q, г — целые числа и
Rl — h*2 +
где / — целые числа, так что из (14.2) — (14.5) имеем
— 2 р,
— 2(7,
4 ~ 2г.
(14.2)
(14.3)
(14.4)
(14.5)
(14.6)
(14.7)
(14.8)
Теория пространственных групп алмаза и каменной соли
129
Чисто трансляционные элементы группы $(**)(«) удовлетворяют (14.-5) — (14.8). Тогда группу трансляции ? можно
