Пространственная симметрия и оптические свойства твердых тел. Том 2 - Бирман Дж.
Скачать (прямая ссылка):
D(*k) и ±) | о}) = ± <m ±> ({q>p 10}), (11.8)
где
*? = Г, *X, *L. (11.9)
Следовательно, произведение двух нечетных представлений должно давать в результате четное представление. Поэтому из 20 возможных коэффициентов исключаются 10 коэффициентов, имеющих отрицательную четность. С другой стороны, логично исключить также 5 классов, содержащих в качестве элементов несобственные повороты, так как они содержат избыточную информацию. Из этих соображений следует, что нам необходимы максимум 5 дополнительных элементов группы, скомбинированных с трансляциями. Ясно, что использование (9.17) и (9.16)
118
Глава 2
для получения дополнительной информации предполагает, что повороты, содержащиеся среди представителей смежных классов ©№), должны быть дополнены трансляциями. Тогда с учетом (9.16) формула (9.17) принимает вид
Xм (К, |*„» = «Р (- '*¦ • *,) (К,}) +
+ ехр (- iX2 • Rp) х№) <m) ({ф?,}) +
+ ехр(- IX, • (11-10)
(Ч-П)
{«:'}-h,л,С1°}- (п-12)
Сопряженные элементы (11.11) и (11.12) содержатся в табл. 9.
В табл. 12 иллюстрируются последовательные этапы приведения, которые мы сейчас опишем. В первой строке, помеченной символом (4—)®(5—), дана существенная часть характеров прямого произведения, которое подлежит приведению. Искомые коэффициенты приведения сокращенно обозначим
а1 = (|Г1+), а2 = (|Г2+), я3 — (IГ12 +),
а4 = (IГ15 +), а5 = (|Г25+) (11,ld)
и
*, = (1**1+), Ь2 = (\*Х2+), 63 = (|**3+)
Ь4 = (\*Х 4+), Ь6 = (|*Х5+). (ИЛ4)
Тогда из (11.6) и (11.7) следует
й\ -f- &2 -Ь 2я3 ЗЯ4 ~f" ЗЯ5 = 6, (11.15)
3bi + 3b2 + ЗЬ3 + 364 + 6b5 = 12. (11.16)
Для каждого элемента группы мы имеем теперь одно линейное уравнение относительно ат, Ът. Воспользуемся первой строкой табл. 12 и нужными столбцами табл. 4 и 10. Для элемента {бз-c^z 10}, используя (11.3) и указанные таблицы, имеем
ai + а2 — а3 = 0. (11.17)
Для {52х|0} получаем
й\ ^-2 “1“ 2а3 — — й§ -j- 3bi -j- 3b2 b$ — ^4 2^5=== 2; (11.18)
для {84*|0}
— й2 “Ь ^4 — ^5 "Ь Ь\ — Ь2 — ^3 "Ь bi == 0 (11.19)
И ДЛЯ {52xJ0}
flj — а2 — 04 -j- Я5 -j- bi — b2 "Ь b$ — 64== 0» (11.20)
Теория пространственных групп алмаза и каменной соли
119
Этим исчерпывается информация, которую содержат представители смежных классов {<рР|0}. Очевидно, мы еще не располагаем достаточной информацией для однозначного решения системы (11.15) — (11.20), даже если добавить очевидное условие, что ат и Ът являются положительными целыми числами:
ат~^ 0, Ьт~^ 0 (целые числа). (11.21)
Из (11.17) и (11.15) получаем
Яз Ч~ 0.4 Ч~ ад = 2, (11.22)
так что по крайней мере один из коэффициентов ат в (11.22) обращается в нуль.
Чтобы продвинуться дальше, нам нужна новая информация, т. е. дополнительные характеры и уравнения. Таким образом, мы должны дополнить табл. 10 путем вычисления добавочных характеров и воспользоваться получающимися линейными уравнениями. В табл. 12 приведены некоторые дополнительные характеры, вычисленные с помощью (11.10) — (11.12). Используя табл. 4 и 12, мы получаем для элемента {foxIM
Я] Ч- о,2 Ч- 2^3 — Й4 — <^5 — Ъ\ — Ь2 — b$ — -f- 265 = — 2; (11.23)
для {S2je 1 #3>
Я] -(- а.2 Ч- 2а3 — Д4 — Я5 — Ь\ — &2 Ч- 3 bi “I- З64 — 265 = — 6 (11* 24)
и для {32JM
o-i Ч~ а2 Ч~ 2яз — Я4 — — bi — b2 — b3 — Ч~ 2h — — 2. (11.25)
Используя {84* |*]}, находим
^1 — а2 Ч~ а4 — а5 — Ь\ Ч- Ь2 + Ь3 — 64 = 0, (11.26)
а из {^2yz I ^1} получаем
а{ — й2 — ci\ Ч~ ^5 — Ь{ Ь2 — ^з Ч- == 0. (11.27)
Теперь мы можем закончить приведение. Поскольку члены, содержащие Г(т), одинаковы для всех элементов с одинаковой операцией поворота независимо от трансляции, то, вычитая уравнения друг из друга, получаем:
(11.18) —(11.23)
bt + b2-b6=l, (11.28)
(11.18)—(11.27)
-Ь3-Ь4+Ьб=1, (1L29)
(11.26)-(11.19)
' bI — b2—b3+b4 = 0, (11.30)
(11.27) — (11.20)
bf-bg+bz-b^Q (11.31)
120
Глава 2
И из (11.16)
ЬХ + Ь2 + Ь3+Ь4 + 2Ь5 = 4. (11.32)
Тогда из (11.31) и (11.32), очевидно, следует
bt = b2, b3 = b4; (11.33)
после этого (11.28) — (11.33) дают
2bl-b-0=l, (11.34)
-2b3+bs=l, (11.35)
bl + bi + b5 = 2. (11.36)
Тогда из (11.34) и (11.35) получаем
bx + b3-b5 = Q. (П-37)
Следовательно, (11.36) и (11.37) дают
b5= 1, (11.38)
bi= 1, (11.39)
b3 = 0. (11.40)
Таким образом, решение для Ьт имеет вид
6, = 62= 1, ft3 = ft4 = 0, 65=1. (11.41)
Коэффициенты ат могут быть найдены прямой подстанов-
кой решений для Ьт в (11.15) — (11.20) и решением получающихся уравнений:
ci[ + Q-2 + 2а3 — а4 — ct§ ==== 2, (11.42)
Я] — я2 я4 — Я5== 0, (11.43)
ах — а2 — а4 + а5 = 0. (11.44)
Из (11.43) и (11.44) находим
ах = а2, а4 = а5, (lf-45)
так что, используя (11.17) и (11.42), получаем
За3 — 2а4 = — 2. (11.46)
Из (11.22) имеем
а3 + 2а4 = 2. (11.47)
Тогда, комбинируя (11.47), (11.46), (11.45), (11.42), на-
ходим
ах = а2 = а3 = 0, (11.48)
а4 = а5=1, (11.49)
Теория пространственных групп алмаза и каменной соли
121
В итоге имеем в исходных обозначениях
?)(*Х) (4-) 0 ?>(*Х) (5-) =
= ?)<Г) (15+) 0 ?)(Г) ,25+) 0 ?)(**) (1 +) 0 D(*X) (2+) 0 D(*x) (5+). (1 1.50)
Здесь полезно выделить некоторые особенности процедуры приведения, результат которого дается формулой (11.50). Во-первых, приведение является полным и однозначным. Другими словами, в соответствии с общими положениями теории групп представление типа прямого произведения (4-) <S) D^*x^ (5~>
