Пространственная симметрия и оптические свойства твердых тел. Том 2 - Бирман Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Метод группы приведения был также использован для приведения всех представлений вида
?>{* W) (т) <%?)(* W) (mO и ?)(*s) (m) ф ?)(*s) (mf)
для 2, = (1, 1, 0) я/а.
Таким образом, используя либо метод группы приведения, либо метод линейных алгебраических уравнений, мы получили все правила отбора для приведения обычных произведений или симметризованных степеней представлений для 0\.
Полные таблицы коэффициентов приведения для всех неприводимых представлений структуры алмаза даны в табл. Б2—Б10.
§ 16. Коэффициенты Клебша — Гордана для ® /)(**) (П1'>
в случае структуры алмаза1)
В соответствии с результатами предыдущих параграфов мы можем теперь считать известными все коэффициенты приведения для пространственных групп как алмаза, так и каменной соли. Следующий шаг в изучении прямых произведений — получение коэффициентов Клебша—Гордана. Напомним, что согласно определениям в т. 1, § 18 и 60, коэффициенты Клеб-
*) Этот параграф написала в основном д-р Р . Беренсон.
Теория пространственных групп алмаза и каменной соли
135
ша — Гордана представляют собой элементы унитарной матрицы U, которая осуществляет преобразование подобия над всеми матрицами заданного прямого произведения неприводимых представлений, преобразуя его в полностью приведенную (разложенную) форму, или, иными словами, матрицы, которая формирует «правильные линейные комбинации».
Несмотря на очевидную важность получения коэффициентов Клебша — Гордана, до настоящего времени они были вычислены лишь в нескольких случаях. Очевидно, если бы эти коэффициенты были хорошо изучены, для них нашлось бы много приложений, так как всегда желательно максимально использовать свойства симметрии, а коэффициенты Клебша — Гордана как раз и позволяют это сделать благодаря тому, что с их помощью могут быть получены правильные линейные комбинации функций.
Однако в этом параграфе мы сосредоточим внимание только на одном из немногих изученных случаев, а именно на прямом произведении неприводимых представлений
?)(**) (m)® D(*x)(m')
для алмаза. Напомним основное правило для волновых векторов:
*Х ® *Х — ЗГ® 2*Х; (16.2)
но для алмаза в силу двукратного вырождения всех представлений в X] мы имеем
2*Х 0 2*Х = 6Г ® А*Х. (16.3)
В качестве примера использования результатов т. 1, § 60, мы изучим здесь только случай (16.3). Обращаясь к табл. Б2, немедленно видим, что для всех произведений типа (16.1) для алмаза независимо от значений m и т' каждое результирующее представление встречается в разложении только один раз, так
что 7=1, и поэтому мы далее опустим этот индекс. Напри-
мер, в сокращенных обозначениях имеем
*Х (1) ® *Х (1) = Г(1+)фГ(2—)©Г (12+)® Г(12—)®Г(15—)® ©Г(25+)©**(1)©*Л:(2)©**(3)©*Х(4). (16.4)
Воспользуемся теперь для получения коэффициентов Клебша— Гордана методом, описанным в т. 1, § 60.
Канонические волновые векторы выбираются так, чтобы упростить вычисление произведения Xi <Э X/ = Xk, т. е.
и и 2л , 2я
136
Глава 2
Тогда представителями смежных классов {фсг|тсг} для I, I' и I" являются элементы
{<Pi i tj> = (е I 0}, k2l*2} = {&3.*iJ0}, {<Рз I Т3> = [ О}. (16.6)
При вычислении коэффициентов Клебша ¦—Гордана использовались матрицы, табулированные Ковалевым [72]. Эти матрицы являются проективными представлениями точечных групп $(&) = ®(k)/Z и удовлетворяют условию
Г(/) (Фа) Г'- > (Фз) = СО (а, Р) Г(/) (фвр), (16.7)
где для использованной Ковалевым фактор-системы
со (а, р) = ехр {— i (<р-> • к{ — ?,) • тр}. (16.8)
Тогда эти проективные представления связаны с представлениями пространственной группы следующим образом:
0!ЙИЛ({фа1та}) = е-^>-1аД,Л((ра). (16.9)
Для точки X алмаза используется таблица Ковалева Т159, причем D(JC,) = т3, D(*2> = t4, D(Xj) = t2 и D{Xi) = т1. Матрицы для точки Г содержатся в табл. Т194. Во всех таблицах Ковалева в качестве канонического волнового вектора kx выбрано kz — 2л
= — (0, 0, 1). Коэффициенты Клебша — Гордана для блока (111) могут быть получены из (т. 1, 60.10):
UШаГ, la"U*iala', ^ ^ ^ ({<Р* 1 %х))™ Х
X D<*'> «'>({ф, I t,)W (П* (fo* I T*>W- (16.10)
Коэффициенты для этого блока приведены в табл. Б5.
Блок типа (аа'а") определяется (т. 1, 60.21):
U (во'в") = D<*> <« ({,Pfc | tk}) ® DM <''> ({qv | /*,}) X
XU(lU)D^^({%„\tk„})-\ (16.11)
где
I *h) s К ! ТЛ~’ ЫI Ts}> R' I h'} = R ; M_’ {4>S! Ts}.
K* IM = К"! v}-1 К I Ts} (16-12)
и
{<Ps|t2}-%==A0’ (Фг I rz}k' = {Фе I Ts} k" = K- (16.13)
Табл. Б6 и Б7 содержат всю информацию, необходимую для г;ычисления ненулевых блоков (аа'а").
Как следует из табл. Б6, блоки (111), (222) и (333) содержат одинаковые коэффициенты; то же относится к блокам
Теория пространственных групп алмаза и каменной соли
137
(123), (231) и (312). Из (16.11) получаем U (123) = D<*> <» ({р,г | 0}) ® DW (П ({рх21 0}) X
Xt/UUJD^^dpjO})-1. (16.14)
Чтобы вычислить коэффициенты для X 0 .Y = Г, мы заметим, во-первых, что для блока (111) + k[ — k" ф 2лВь
и, следовательно, все коэффициенты равны нулю. Поэтому мы выбираем блок (321) в качестве канонического, или главного, блока и все остальные блоки (оо'о") определяем через блок (321). Табл. Б8 содержит коэффициенты блока (321), а табл. Б9 и Б10 — информацию, необходимую для получения остальных блоков.
