Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Бирман Дж. -> "Пространственная симметрия и оптические свойства твердых тел. Том 2" -> 48

Пространственная симметрия и оптические свойства твердых тел. Том 2 - Бирман Дж.

Бирман Дж. Пространственная симметрия и оптические свойства твердых тел. Том 2 — М.: Мир, 1968. — 351 c.
Скачать (прямая ссылка): prostranstvennayateoriyasemtelt21968.pdf
Предыдущая << 1 .. 42 43 44 45 46 47 < 48 > 49 50 51 52 53 54 .. 114 >> Следующая

Альтернативной процедурой, которую можно было бы использовать, является метод проекционных операторов. Проекционные операторы определяются соотношениями
мы можем использовать проекционные операторы для проверки коэффициентов, приведенных в табл. Б5—Б10.
Рассмотрим в качестве примера произведения Я(Э) (g) Я(4)=.Х(1) и Х<3) (g) ^l(4)==^l(i2+) для структуры алмаза. Используя проекционные операторы, получаем следующие базисные функции, записанные как линейные комбинации шести блоховских функций ^а(^), а = х, у, z, k = 0, т:.
(16.17)
(16.18)
(16.19)
(16.20) (16.21) (16.22)
(16.23)
(16.24)
(16.25)
(16.26)
(16.27)
(16.28)
Ф{‘*) = г' (0) + (т))/У 2 .
138
Глава 2
Из табл. Б5 —Б10 получаем коэффициенты Клебша — Гор-дана ’) для *.Х(3) ® *.Х(4) = *Х(1) и *Х(3> ® *Я(4) = Г<12+>. Во-первых, для *Х имеем
v2 '/2\
ц(Ьх) W4ky)W){kz) <*'>= | ° °
¦и
222 ’
и
ззз»
г/2 г/2/
[/(У(р)(ут(Ч
и.
211 '
ит =
0 0
г12+) 1/л/б“ -1/Уе~
i/Ve' - i/Ve"
0 0
0 0
,2/Уё~ — е/Уб
VVe — е/л/б ’
0 0
0 0
/Уб — е2/-\/6
Ул/б- — е2/д/б t
0 0
(16.29)
— ^231 — и 312 (16.30)
( — № i/2 ^ о о о о
^ ‘/2 '/2 ^
Как частный случай имеем
^г) W = 1 {^Х) * tyf*) _ ф) _
- гг$*) W<> + <Х,)} • О6-31)
Далее, для Г имеем
(16.32)
(16.33)
(16.34)
где г = е2п/13. Тогда, например,
<(‘2+) = -щг {ф) <*‘> + ф) «¦>*?„) т +
+ е2^) ™ф)т + е2ф) <*>(>) <*’> +
_____ + вф) <*’>4**) <**> + *\Ру) <*<>}) (16.35)
') В табл. Б5— Б10 полные представления обозначены Х^\ а не
**</>.
Теория пространственных групп алмаза и каменной соли
139
Применение проекционных операторов
('5-3s>
я
П(Г (12+) (12+) х-* г,Г (12+) /Г„ I» ^\* п ПС 9-74
=—g—2^1 (1флIтл}) р{ч\'Х] О6-37)
я
показывает, что описанные выше коэффициенты Клебша — Гордана действительно дают линейные комбинации функций базиса, обладающие правильной симметрией [73]1).
§ 17. Роль эффектов, связанных с симметрией по отношению к обращению времени, в решетках алмаза и каменной соли
Полное использование эффектов, обусловленных антиунитар-ным оператором обращения времени, в решетках алмаза и каменной соли требует изучения каждого неприводимого представления и каждого типа фононов с точки зрения критерия вещественности, чтобы определить, вызывает ли оператор инверсии времени К дополнительное вырождение. При этом необходимо также исследовать каждое правило отбора, чтобы определить, возникают ли дополнительные ограничения из-за инверсии времени. Ни эта программа, намеченная в общих чертах в т. 1, § 87—94, ни попытки сформулировать заново теорию в рамках современного подхода, основанного на копредставлениях (т. 1, § 95—102), до сих пор не осуществлены.
Мы приведем здесь результаты весьма ограниченного исследования эффектов инверсии времени для двух групп с использованием методов т. 1, § 87—94. Для каждой пространственной группы мы изучим два типичных волновых вектора (табл. 3): *Х, принадлежащий к классу I, поскольку —Xt === Xt, i = 1, 2, 3, и *№, принадлежащий к классу II, так как г= хотя
— Wi не эквивалентен Wi для всех i.
Напомним, что, согласно (т. 1, 94.11) и (т. 1, 94.12), для волновых векторов класса I непосредственная проверка на действительность осуществляется сравнением
%(А)(т) и (17-1)
Если эти два числа равны, то дополнительное вырождение отсутствует, в противном случае оно имеется.
Для волновых векторов класса II, согласно (т. 1, 94.26), мы должны изучить
5С(й)(т)({ф/|т;}) (17-2)
‘) См. литературу, цитированную в т. 1, § 60.
140
Глава 2
И
ХШт) ({ф/1 тг}7 ^ Xм т «Ф* IТ,}), (17.3)
где преобразование сопряжения в (17.3) осуществляется при помощи элемента {фв | та}, определенного в (т. 1, 94.11) как элемент, поворотная часть которого преобразует k в —k. Таким путем мы определяем, являются D(k){m] и ?)<*)<*'> эквивалентными или неэквивалентными и в последнем случае объединяются вместе, удваивая тем самым вырождение.
Несмотря на пространное обсуждение, понадобившееся в т. 1, § 91—94 для вывода этих результатов, применять их весьма просто.
Для алмаза мы рассматриваем для звезды *Х представление ?)(*х)(т)_ Используем один из волновых векторов, скажем Х\. Рассматривая таблицу характеров {т) (табл. 18а), замечаем, что все характеры вещественны. Следовательно,
для алмаза все D{X>i(m) вещественны. (17.4)
Таким образом, дополнительное вырождение отсутствует. Для *W мы рассматриваем представление Канонический
волновой вектор Wi = (2jt, 0,—я) (1/а). Характеры этого представления можно найти в табл. 33. Обратим внимание на тот факт, что характеры для классов С3, С4, С9, ..., С12 комплексны. В этом случае, однако, мы должны использовать правило
(17.3). Для наших целей нет необходимости применять всю таблицу, достаточно проверить условие (17.3) для одного элемента, в качестве которого мы выберем ф/ = а4г. Выбор этого элемента позволяет проверить поведение комплексных характеров x(wr,)(1>({<*4z[0}) и %W>(2,({<*4z|0». Элемент пространственной группы {р*р|0} обладает свойством
OxyW^-W^W,. (17.5)
Следовательно, мы можем выбрать qx- в качестве q>3 в (17.3). Тогда в соответствии с (17.3) находим
Предыдущая << 1 .. 42 43 44 45 46 47 < 48 > 49 50 51 52 53 54 .. 114 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed