Пространственная симметрия и оптические свойства твердых тел. Том 1 - Бирман Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Сделаем теперь предположение о наличии существенного вырождения, обусловленного группой операторов пространственной симметрии ®{k). Будем считать, что каждое представление д(А)(/>; записанное в блочной форме и соответствующее различным значениям со2(Ае| /), является физическим допустимым неприводимым представлением группы ®(k). Следует отметить, что каждое допустимое представление Группы ®(k) может
появляться в (85.17) несколько раз. Ниже' обсуждается способ определения того, какие именно допустимые представления ?)(*) (т) возникают в действительности.
Заметим, что в нашей теории не предполагалось до сих пор, что данное представление возникает в (85.17) только
один раз. Однако, чтобы воспользоваться соотношением (85.18), нужно сначала решить задачу на собственные значения и найти
Орбственные векторы еа^к]^. Затем для вычисления (85.18)
следует взять lj собственных векторов для данной ветви со2 (Ле | /) и использовать в (85.19) б-символ. Для другой ветви с той же симметрией для получения (85.18) могут бЬиъ использованы эти же собственные векторы.
Чтобы выявить все следствия существенного вырождения, обусловленного пространственными операторами из полной пространственной группы ®, нужно по найденному при решении динамической задачи представлению D(A) (т) получить совокупность представлений D(т) полной группы.
Полное существенное вырождение в этой задаче связано с полной пространственно-временной группой которая будет анализироваться ниже.
228
Глав38
/ft \
§ 86. Комплексные нормальные координаты Q I . I как базис
\ 1ц '
для представления D<-kUJ) группы ©(ft)
Так же как в § 76, сейчас желательно получить правила пре-
(k \
образования комплексных нормальных координат Ql . I. Важ-
/к\
ным обстоятельством оказывается то, что величины Ql . I яв-
рУ
ляются динамическими переменными в задаче динамики решетки [см. (80.7) и (80.8)]. Мы можем рассуждать так же, как в
(к \
§ 76, и вывести правила преобразования Qi . I из правил пре*
\ 1 [I s
образования физических смещений.
Чтобы учесть вырождение, перепишем (80.9) в виде
“¦(!)= (86Л>
Обратное соотношение следует из условий ортогональности и нормировки
Q( 1) “ А)<( * I * ) “« (1) vm- (86-2)
Полезно определить вектор «^-компонента которого
Va С11) “ Wехр (/Л' ^6а ( х I /v) ‘ (86,3)
Тогда из (86.1)
»<>-x>(l‘.MD
и из (86.2)
№5)
Ыа
= = ), иМ^, (86.6)
где в последней строке мы использовали скалярное произведение (79.8).
равна
Пространственные группы и классическая теория колебаний решетки 229
Покажем, во-первых, что величина Q (I) является блохов-
ским вектором, относящимся к волновому вектору ft. Это наиболее просто увидеть из (86.2), рассмотрев влияние трансляции на поле физических смещений
Р{*\р'м)и = “{««!• (86.7)
Это соотношение можно переписать в виде
“{*«)= Z v{rm) (I / ) Q (j ) (86-8)
jvk
ИЛИ
= (86-9)
(k \
где (86.9) определяет преобразование Qy j j Но
(I \k \ fl — m k \ (I \k \
= ({e I If^}) oa (^ | * ) - (86Л°)
D<*>({e|tfA1}) ?>(1* )Q(* )' <86Л1)
/vA v v
P(., «л,<3 ( ‘ ) - QtRM) ( * )= 0»({e I **}) Q( ‘ ). (86.12)
Тогда Q (t) можно взять в качестве блоховского вектора, соответствующего волновому вектору ft.
Рассмотрим действие оператора преобразования не
относящегося к @(ft). Из соображений, приведенных в § 30, сле-
дует, что
/W>q(/v) (86.13)
является блоховским вектором, соответствующим волновому вектору ф • ft:
л„»<з(‘)»«(,р;>‘)- <86.14)
= DW({e \Rm}) vay^k
Отсюда
и{«м)
j\k
если
ft
230
Глава 8
Мы можем считать этот вектор относящимся к той же строке,
,тои Q(/J-
Чтобы рассмотреть действие оператора входящего
в ©(ft), необходимо возвратиться к определениям (86.1) —
(86.6). Тогда поле повернутых физических смещений имеет вид
(86'15)
Мы можем записать (86.15) в виде
<86-16)
jvk
ИЛИ
“{4)=i>(I1)qm(D' <86л7)
/V*
Обращая (86.17). получим из (86.6)
«м(/,) = ”'(|/,)'“(Ч)м-“ <86Л8)
=S | ) си^)«
Ыа ' v
-??<(1|>,)„л(^Ь «*•«>
( ч^
Чтобы вычислить «„I I, воспользуемся соотношением (86.1)
V
( %) " Jikpr ,?,ир ('*' ‘ N)М D
Я (86.20)
Но
exp ik' • RL(t>i = exp i (q>/jt • ft') • RL• (86.21)
Подставляя (86.20), (86.21) в (86.19) и используя (86.3), получим
? ? ? ~/м~м «р № ¦ (*4 • * - *)) х
гиа В /'V'*' -у к%
х(*^<(“|/,)*»(,ч1&)<г(&)- <8<Ш)
Пространственные группы и классическая теория колебаний решетки 231
Кроме того, имеем
Yj JT ехР (iRL ' (W* -k' — k)) = 6 (<tiK • Ы — k). (86.23)
i
Так как tp^ является поворотом, входящим в группу © (Лг), из (86.23) следует, что k = k'. Отсюда сумма по К сводится к единственному члену, и если мы еще возьмем Ми = , то
h
(86.22) упрощается и приводится к виду
ZZZK)a/a(*|- Мх|г,М/',)' (86’24)
Тогда, используя (82.12), имеем
( к\ | ) = DW ({е 1 ~ Rn (xv *")})( к" | j'v, ) бх vу" •
(86.25)
Из уравнений (86.25) и (82.16) находим для (86.24)
IЕ Е DW '*’ (КI М)„. * 11( х" I *; ) « (I) ¦
>са х"0 /V v v
(86.26)
Затем из (85.18), (85.19) получаем для (86.26)
E(0M,'4K!,‘J)),'vs«'<? (/'.)¦ <8в-27>
J'V' v
Наконец, из (86.18) и (86.27) получаем
«04) (‘)=Е 0<в (К I миг (‘,) • <86-28>
