Пространственная симметрия и оптические свойства твердых тел. Том 1 - Бирман Дж.
Скачать (прямая ссылка):
рому преобразуется полярный вектор, на перестановочное представление с точностью до совокупности фазовых множителей типа D(fe> ({е | — RN})- Таким образом, D(neрест) осуществляет перестановки в пределах канонического базисного набора с х= 1, ..., г с учетом дополнительных фазовых множителей, которые, если нужно, добавляются в матричные элементы и в зависимости от которых реализуются различные варианты
(82.4) — (82.7). Поэтому
Dw w = D<r) <S> D(neРест). (82.19)
Матричные элементы представления D{r) имеют индексы ар, например D^l, а матричные элементы D(neРест' имеют индексы ш', например Охи'рест). Ясно, что каждый из этих матричных элементов можно в явном виде получить из (82.16). Мы не будем пользоваться таким явным выражением и хотим только пояснить, что такое построение возможно в принципе. Тогда можно написать
шк) и)ах, рн' = D{alD{^CT). (82.20)
220
Глава 8
Важную роль играет след матрицы Dw (<?). Это ясно видно из (82.13). Вычислим этот след:
В (82.21) бии"=1 при и = и". Это соответствует случаям (82.4) и (82.5). При бии" — 0, что соответствует (82.6) и (82.7).
Кроме того, величина
является следом матрицы <р собственных и несобственных вращений и сумма справа берется по всем атомам %" в элементарной ячейке. Так как ?)<*Н<0 является представлением группы ©(ft), то его можно представить в виде прямой суммы допустимых физически неприводимых представлений. Мы возвратимся к этому вопросу ниже в § 103.
Наконец, надо отметить, что представление Dik) является унитарным. Это следует из уравнения
которое выражает унитарность оператора Р по отношению к скалярному произведению (:), определенному в (79.9) и (79.11). Тогда
т. е. обратная матрица эквивалентна эрмитово-сопряженной.
§ 83. Собственные векторы D(k) как базис представления /)(*)!/) группы ©(?)
Возвратимся теперь к (82.17) и (81.28). Для любого элемента {«P/Jf/jJ группы ®(Л), оставляющей инвариантной динамическую матрицу, имеем
SPD(^)(K|4})S^)^)(K|4}) =
= Е(±(1 + 2со8Ф^))0^({в|-^(чф^ «")})%, (82.21)
(82.22)
(82.23)
№ w (К, х, J)-1 = D<*> W ({„IjL | т, J)+, (82.24)
(83.1)
Тогда соотношение (81.28) преобразуется к виду
Пространственные группы и классическая теория колебаний решетки 221
Отсюда следует, что величина
р{’ь\\}е{
является собственным вектором, относящимся к фиксированному значению волнового вектора k. Но совокупность вырожденных собственых векторов
•(I?).....e(ID........'(!/„)• <8з-4)
соответствующих одному и тому же собственному значению, является полной по отношению к пространственной симметрии. Поэтому собственный вектор (83.3) можно представить в виде линейной комбинации векторов (83.4):
p(%i'.j‘'(lt)iD,‘,u’«^it'^e(lt)' <8з'5> ^ V=1
Ц = 1, . . ., I/.
Отметим, что это чисто векторное соотношение. Как обычно, полнота совокупности или пространства (83.4) позволяет определить матрицу Dik)il), осуществляющую представление в пространстве (83.4) (§ 102). Затем, используя (83.5), можно определить матрицу с размером lj, осуществляющую представление группы ®(k).
Чтобы получить матричный элемент мы возьмем ах-
компоненту уравнения (83.5); тогда получим
р{\ I ¦<*>*•(* 11) - ? D'“"‘"({-гч I м),(»|‘)¦ <8з-б>
^ V= 1
Подставляя (82.15) и (82.13) в левую сторону (83.6), получаем
ZZDMW(KK}L.*,‘„(*"1*)-
3 и" ц
=? («кЛ,D,M (!' I - *» к-“")})(“"!!)-=5>*№(ым^««(*|;,)- (83-7)
V-1
)
/ц/
(83.3)
222
Глава 8
Затем, используя условие ортогональности (79.8), найдем
Мы получили явное выражение для элементов матрицы D<*)W) через элементы /)(А) (еК Мы возвратимся к обсуждению (83.8) в § 85, где мы рассмотрим соответствующую [D(k)] группу симметрии ®(k) и вытекающее из нее существенное вырождение.
§ 84. Собственные значения матриц D<4) <е> и
Заметим, что мы работаем с величинами, которые можно рассматривать как 3г компонент Зг-мерного вектора е
В нашем рассмотрении это обстоятельство проявляется двумя разными, но связанными способами. Компоненту e^
при этом должна существовать линейная зависимость. Так как обе совокупности (84.1) и (84.2) удовлетворяют соотношениям ортогональности и нормировки (79.8) — (79.11), между ними
0",,л(КК»,„=
=I Z < (* 11) °'в (К I ML. „И, (*" 11)
ах (Зх" **
равным образом как 3г компонент Зг-мерного вектора
но рассматривать как (ак) -компоненту вектора
как /-компоненту вектора векторов
Между совокупностью Зг
(84.1)
и совокупностью Зг векторов
а = 1, ..., 3; и= 1................г, (84.2)
Пространственные группы и классическая теория колебаний, решетки 223
можно установить связь с помощью унитарного преобразования
При этом в соответствии с (84.3) элементы матрицы [?/] должны иметь асимметричные индексы, соответствующие (84.3):
Благодаря унитарности [?/] соотношение, обратное (84.3), можно записать в виде
Очевидно, [U] — матрица перестановок с единственным отличным от нуля матричным элементом, равным 1 в каждой строке и в каждом столбце. Так как базисы соответствующих представлений связаны унитарным преобразованием [С/], то из формул
(82.17), (83.5), (84.3), (84.6) следует, что Dw (е) и долж-
