Пространственная симметрия и оптические свойства твердых тел. Том 1 - Бирман Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Тогда действие операции поворота состоит в преобразовании уравнений движения к эквивалентным уравнениям, собственные значения которых связаны с исходными собственными значениями соотношением (81.32).
Мы рассмотрели одно из проявлений существенного вырождения в задаче динамики решетки, связанное с группой пространственной симметрии ®.
Наконец, отметим, что для каждого оператора в
группе ®(&) мы можем получить из (81.26) соотношение
Таким образом, величины [?(?)] инвариантны относительно преобразований (&(k). Так как это инвариантный оператор, из его собственных векторов можно построить базис неприводимых представлений ©(?).
§ 82. Собственные векторы матрицы [Z) (Л)] как базис для представлений /)<*><«> группы ©(?)
векторами, они могут быть использованы в качестве базиса неприводимых представлений группы ®. Мы сейчас покажем, какие представления при этом возникают. Ограничимся 3г собственными векторами (81.1), заданными при фиксированном к. Они преобразуются как физическое векторное поле.
Рассмотрим совокупность операторов Р^, которая
включает ®(k) аналогично (36.1). Для каждого оператора этой
{фМф)}
(ft I /я) = и2 (<р2 • ft I k) = • • • = (фЯр ' ft I h), (81.32)
Я = 1, ..., lj.
Р{%|.,0[О(*)]Р^,.,0 = №(»]. (81.33)
Так как величины
являются блоховскими
Пространственные группы и классическая Теория колебаний решетки 21?
совокупности имеет место соотношение (34.4); таким образом,
mx-k = k + 2n Вн. (82.1)
Соответственно из (81.17)
р{\ I ¦*>*“ (* I *):- ? (.f'XH (-ч I () ”
=? Юч et (К” ~ ч'ч! /) • (82-2)
Заметим, что добавление 2пВн к вектору k не изменяет оператора Pw.
Прежде чем обсуждать (82.2), отметим, что для всех е
(П
сделан раз и навсегда выбор конкретных канонических или фиксированных значений ах. Следовательно, фиксированы декартовы оси координат, соответствующие а = 1, 2, 3. Также фиксирован набор атомов в элементарной ячейке х—1...................г, по
одному атому в каждой подрешетке Бравэ. Все они, например, могут быть взяты в элементарной ячейке с / = 0. Напомним также обозначения (70.29) и (70.30). При преобразовании | х1%) в выражении (82.2) координата атома в ячейке преобразуется, согласно (70.30), как
Гп -> Гиф = Rn + г х", (82.3)
где снова гИ" — координата атома в элементарной ячейке. Она переводится преобразованием симметрии {фгх| т/х} в эквивалентную координату гк, которая может и не относиться к той же подрешетке. Это означает, что независимо от того, равно Rn нулю или нет, координата гх„ может совпадать с гк, а может и не совпадать с ней. Очевидно, здесь имеются четыре случая: rx = /v; , и") = 0, (82.4)
ги = /v; Rn (иф , и") ф 0, (82.5)
ти Ф' ти"! Rn ==: 0, (82.6)
гл ф г-л«; Rn (у-ф^, х") ф 0. (82.7)
Rn (иф^, и") = ф,~‘ • г* — ф~> • тt% — rb, (82.8)
Здесь
где снова гк• — радиус-вектор атома в элементарной ячейке, a Rn — вектор решетки.
218
Глава 8
ее
Таким образом, условие замкнутости системы собственных векторов
в(|/)’ '=1« Зг* <82-9)
с компонентами
(И | / ) ’ а== 3; х==1..............г’ (82.10)
требует, чтобы в правой стороне равенства (82.2) компоненты
е3(хф|^.) (82.11)
также выражались через канонические переменные гк. Отсюда, используя (82.3), (82.8) и (82.11), имеем
(Х% | /' ) = (** + Гх'\ j ) = Р{е |-%}ев ( Гк” | / ) =
= ({в | - *„}) ( /у, | * ), (82.12)
где /?дг определено в (82.3). Таким образом, для (82.2) имеем
р{\ I %)е' (х I;)= S ((е 1 “ *»» е»( и" I i ) ¦¦ <82'13)
Теперь в (82.3) оба значка к и х" принадлежат каноническому набору (82.10). Отсюда видно, что (82.13) является общим соотношением между каноническими компонентами одного и того
же вектора е ^ J . ^ при фиксированном /. Затем, если для фиксированного j мы рассмотрим 3г компонент (79.2), то каждую такую компоненту можно пометить двумя индексами а и к:
а= 1, ..., 3; %=\ (82.14)
Тогда соотношение (82.13) можно записать в матричной форме:
pi\ I (х | * ) = Z Z DW ie) (W'x 14}L, ( И /) ’
а=1.......3; я=1,...,г. (82.15)
Для фиксированных значений k и j матрица D(ft) (е) является Зг-мерной, имеющей 3г строк и столбцов. Мы можем легко вы-
Пространственные группы и классическая теория колебаний решетки 219
числить компоненты Из (82.13) имеем
Я» И (К I Мк, зх» = К)а3 D(k) ({В I - ** К- *")}) Чх* *">
(82.16)
где
( 1 для пар атомов, связанных соотношением (82.3),
1 0 для всех прочих пар атомов.
Теперь важно установить, что матрица Z)(feHe) не зависит
от /. Следовательно, определение Dik){e), данное в (82.15), можно
записать через собственные векторы
р{\ 1%Г- ( J * ) - ? I D'" И (К I <*Ч <«" I *>• <82- |7>
В Y."
Напомним здесь рассуждение из § 79, в частности (79.9) и (79.14). Обозначая 3г векторов, образующих строку, через
..(к|*); a = 1, • • ¦, 3; а—1, г, (82.18)
расположим их по образцу (79.14). Тогда (82.17) можно понимать как соотношение между целыми строками векторов, вы-полняющиееся при фиксированном /.
Естественно, что для строки, как и для столбца, нужна именно пара индексов. В записи (82.13) матрица D(*>г®' является прямым произведением представления по кото-
