Пространственная симметрия и оптические свойства твердых тел. Том 1 - Бирман Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Так как величины еа м;) являются блоховскими векторами, соответствующими заданному волновому вектору k, можно воспользоваться результатами § 34—44 с некоторыми дополнениями. Рассмотрим базисный вектор (81.1). Тогда для фиксированных значений k и j его компоненты нумеруются индексами ак. Возьмем теперь преобразование координат {ф|0 — {ф|т(ф)} из (70.24) при RM — 0, которому соответствует оператор преобразования и рассмотрим
(/W>*)(| *)ввм(|/)- <81-7)
Согласно § 30, эта величина является блоховским вектором, соответствующим волновому вектору ф-ft. В операторной форме это можно записать так:
^{*1 Rv}P{t 11)= Л<р |(}^{г I ч'-'-Яд'}. (81.8)
Применяя правую и левую части соотношения (81.8) к (81.1),
получаем
Р{* I ( | / ) = D{>,) ^ ф-1 ’ ^ ^ 6(4,1 ( | / ) =
-/)«*•*>({«I«!.')}«м(| *)• (81.9)
Пространственные группы и классическая Теория колебаний решетки 213
Вывод (81.9) прямо в компонентах потребовал бы довольно трудоемких вычислений. Соотношение (81.9) показывает, что
(81.7) является блоховским вектором, соответствующим волновому вектору (f k. Рассмотрим сначала величину
= ({е I Rl})* P{v \ t)P{t \-rl) —
{« I-*L)
= -J=r ? D(ft) ({e Ri})* P{l! |-<р-Яд}Р{ч>| »(»)}• (81.10)
Пусть
Ф 'R-L — R-Lq И Дд = ф 1 • RlJ (81.11)
тогда
DM ({e | - RL}y = D<*> ({e I - ф- . =
(81.12)
Заменяя суммирование по —RL суммированием по —RL , получаем
-L. ? 0«'»({е|-^})-Р{.,-„ jA.l.,.». (8ЫЗ)
{•'-%>
Однако в (81.13) индекс RL(f является немым индексом суммирования, который можно переобозначить, например, как RN‘, кроме того, стоящий справа оператор не зависит от индекса суммирования. Учитывая это, имеем
1 ? 0^‘)({е|-ад*Р{е,_%}Р{фЬ(Ф)) =
v {м-ед
= P<*-‘>P{f|l(f)) (81.14)
или
Р{Ф|,(Ф)}^ = Р^А>Р{Ф|1№ (81.15)
Чтобы получить явное выражение, которое можно сравнить с (79.12), мы применим оператор (81.15) к [ej\:
P(<p‘ft)P{?|i (»)}?<! ^ | /) = Р(ч> А) Е ^“Р^Р | =
Р
(81Л6)
Чтобы получить (81.16), мы воспользовались соотношением
(70.24). Подставляя оператор рС1*) и возвращаясь для удоб-
214
Глава 8
ства к обозначениям, в которых вектор решетки обозначается индексом /, получим для (81.16)
_^е (81л7) Выполняя суммирование, мы получим результат действия оператора (вращение плюс нетривиальная трансляция) на собственный вектор:
Р{ф|1(ф)}еа^]^ = 2]фарев^ф-|гх — Ф“'т(«р) Ру )• (81.18)
Из этого соотношения видно, что собственные векторы е ^ / I ф • ft \
или . j являются тензорами первого ранга (векторами),
а также что они являются блоховскими векторами при заданных значениях волнового вектора (соответственно k или <р-&).
Как было отмечено Вигнером ([1], стр. 106), в похожем, но несколько отличающемся случае существенно использовать свойства Р(ф у, как оператора, действующего на функции. Забывая об этом, мы можем совершить серьезную ошибку, применяя операторы прямо к числам, т. е. к определенным значениям
собственных векторов ^ в «узлах» или координатах 1ка
и т. д. Это, как правило, приводит к неверному результату.
Исследовав трансформационные свойства собственных векторов, перейдем теперь к изучению свойств преобразований самих уравнений движения (79.7). Для этого мы применим оператор Р{ф|т(ф)} к этим уравнениям:
я<ф|. (ф)> № (^)] P{f 11 (ф)}Р{ф 11 ^ | у ^ —
= w2(ft I/) Р{ф|г(ф))«(| ^ )¦ (81.19)
Рассмотрим преобразованную динамическую матрицу
[O' (ft)] = Р{ч\% т [D (ft)] РГ,\, (,». (81.20)
Наиболее просто это можно сделать, применяя операторы проектирования (78.5), аналогично тому как мы это делали при преобразовании векторов смещений. Заметим, что (78.5) можно
Пространственные группы и классическая теория колебаний решетки 215
записать по типу (81.2) через оператор проектирования P<fc): n ( k ) = У .ехР- ‘*:*А.ф ( я ^
41 v^7
= , -1— ? ?>(*>({е|- (81.21)
где аналогично (81.3)
(81-22)
Тогда
Dw( , ) = —=1= ( ° , V (81.23)
аР V хх ) У МИМИ, р \ хх /
или, в операторной форме,
[D (ft)] = PWM~1/2 [Ф (0)] ЛГ1/2, (81.24)
где — корень квадратный из диагональной матрицы, опре-
деленной в уравнении (67 17). Тогда (81.23) следует понимать как оф; хх'-компоненту (81.24). Теперь с помощью (81.24) мы можем вычислить (81.20). Очевидно, из (81.15) и (81.24) следует
^(ф | г <ф)} [D (ft)] Я(ф| г <ф)} = Р{ф | г (ф)} (Р^ М ^ [Ф (0)] М ^2)Р{ф \ г (ф)}—
= Р(ф-Л)Р(ф I, (ф)}ЛГ,/2 [Ф (0)1 М-,/2Р(ф 1, (81.25)
Но {ф|т(ф)}—это операция симметрии динамической матрицы, так что мы можем использовать (71.23) и получить из (81.25)
Р(, 1. <ф)> [D (*)] Р(ф |, = P^k)[M]-'k [Ф (0)] [М\~ъ = [D (ф ¦ ft)].
(81.26)
Матричный элемент [Z> (ф • ft)] из (81.24) и (81.23) равен
*>¦.( <81-27» Используя (81.26) и (81.19). имеем
[D (ф • ft)] Р(Ф | г те ^ = со2 (ft | /) Р;ф |, те ( | у ) • (81.28)
Динамические уравнения для собственных векторов и собственных значений при фиксированном значении волнового вектора ф-ft имеют вид
[D (ф • ft)] в (|Ф = со2 (ф • ft | /,) е (|Ф . (81.29)
216
Глава 8
Сравнивая это уравнение с (81.28), видим, что
и
Р{ф 11 (ф»в
(81.31)
(81.30)
Таким образом, оказывается, что для каждого оператора в группе @ и в частности для представителей смежного класса
