Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Бирман Дж. -> "Пространственная симметрия и оптические свойства твердых тел. Том 1" -> 69

Пространственная симметрия и оптические свойства твердых тел. Том 1 - Бирман Дж.

Бирман Дж. Пространственная симметрия и оптические свойства твердых тел. Том 1 — М.: Мир, 1968. — 388 c.
Скачать (прямая ссылка): prostranstvennayasimmetriya1968.pdf
Предыдущая << 1 .. 63 64 65 66 67 68 < 69 > 70 71 72 73 74 75 .. 127 >> Следующая

которые определены для всех k в зоне (при фиксированных RL) или для всех векторов решетки Rl (при фиксированных k). Как и раньше, N — 8N1N2N3 есть порядок группы $.
Плоские волны (77.3) являются базисными функциями для теории преобразований Фурье интересующих нас физических величин.
§ 78. Преобразование Фурье для смещений и матрица силовых постоянных: динамическая матрица [?(?)]
Выполним теперь следующее разложение декартовых компонент элементарных смещений:
(7fU)
k
где к характеризует сорт атомов в ячейке, a k — разрешенный волновой вектор. Очевидно, ш>0(и \k) — комплексные переменные, и мы можем положить
и>*(к|?) = ша(х| —*), (78.2)
так чтобы были вещественными. Рассмотрим wa(y,\k)
как новые независимые переменные.
Чтобы получить уравнения движения для этих переменных, запишем сначала через переменные wa(%\k) кинетическую и
204
Глава 8
потенциальную энергии. Подставляя (78.1) в (67.8), найдем
Z 2>»(1 l')i^iwwAK{k}w^K'lk'}x
Ixa kkr V у. у.
Ги'й
Хехр[/(Л-/?Л + Л'-ад. (78.3)
Теперь, используя (77.1) и (77.2) и свойство матрицы силовых постоянных (69.7), получаем
F = ? Z Z (х 1 ~ ( ж' ) “Ъ(х'1 <78-4)
ха *
к'е
где
<78-5>
Матрица [/)(&)], матричные элементы которой даны в (78.5), является динамической матрицей кристалла; [Dim — это фу-рье-компонента матрицы силовых постоянных [Ф]. Динамическая матрица, которую следует считать комплексной, эрмитова:
или
[D(k)] = [D(k)]+ = [D(k)Y. (78.6)
Это следует из симметричности матрицы силовых постоянных:
или
{ 1-1' 0 \ //'-/0N
М И х']“ФР“( ч' ч) (78,8)
см. (69.4)]. Тогда (78.4) преобразуется к виду
V в Т Z Z 1 1 (78-9)
на А х'р
Аналогично для кинетической энергии, подставляя (78.1) в (67.14), найдем
Г==Т (*!*)• (78Л°)
Пространственные группы и Классическая Теория колебаний решетки 205
Через эти комплексные переменные лагранжиан запишется в виде
2=Т—V=
= j ? wa (х | k)* a,a(x|ft)-yZZ I *)* D*v ( ) w& (*' I*)-
(78.11)
Если мы называем доа(и|й)* координатой, то соответствующий сопряженный импульс равен
"¦(«1»)° <78-12>
Из уравнений Гамильтона мы тогда имеем [7]
(и I *) = («I *) = — йаз Г j Шр («' I k) (78.13)
и'В
или
(* I *) + Y, ( кх' ) ШР I *> = 0- <78-14>
Отметим, что мы использовали (78.2), чтобы исключить множитель 1/2; отметим также, что координата wa(x\k)* и импульс wa(%\k) являются сопряженными переменными. Из-за комплексной экспоненты в (78.1) возникает сложность в вычислениях, связанная с комплексным полем смещений w(\k). Удобно рассматривать переменные wa(%\k) как ax-компоненты векторного поля w(\k). Очевидно, имеется всего 3г таких компонент:
wa (х I &); а= 1, ..., 3; х — 1, ..., г, (78.15)
так что
w(\k) (78.16)
для фиксированного k является вектором в 3/--мерном пространстве. Мы предположим далее гармоническую зависимость смещений от времени:
wa (х | k) — ga (х | k) exp m (k | j) t. (78.17)
Подставляя это выражение в (78.14), получаем задачу на собственные значения:
- со2 (k I /) |a (х | k) + у ?> ( *, ) (и' I k) = 0. (78.18)
В следующем параграфе мы решим (78.18) и найдем собственные значения и собственные векторы.
206
Глава 8
§ 79. Собственные векторы динамической матрицы [Z)(ft)]
3г собственных векторов динамической матрицы (78.18) обозначим через
*(
Каждый такой вектор (79.1) имеет 3г компонент для фиксированного /:
е<х ( % | У ) ’ а = 1 > • • • > 3, и = 1.г. (79.2)
Соответствующие собственные значения матрицы \D(k)} обозначим через
со2 (А | /), У == 1.Зг. (79.3)
Тогда для фиксированных ft и } эти векторы удовлетворяют уравнению
? М *' I *) “ 1 л *“ (“ I *) • (ПА)
k'$
Если вырождения нет, тогда собственные векторы (79.2) можно выбрать удовлетворяющими комплексным (эрмитовым) условиям ортогональности и нормировки [4]:
I ¦ )ea(*L)==6//', (79.5)
ка
? el ( и' Г ) еа ( х Г ) = барбхх'. (79.6)
/
Они следуют из эрмитовости динамической матрицы
При наличии вырождения собственным векторам матрицы [Л (ft) ] следует приписать дополнительный индекс, нумерующий вырожденные собственные векторы. Напишем для всех /^-кратно вырожденных собственных значений
[D (ft)] • е ^ | ^ ^ = ю2 (ft | у) е ( J ^); Я, = 1.1т. (79.7)
Как и раньше, в (72.17) и (72.18), для вырожденных собственных значений можно составить совокупность собственных векторов, которые ортономированы в смысле эрмитового скалярного произведения. Два скалярных произведения (79.5) и
(79.6) можно тогда переписать, используя скалярные произве-
I*). /=1, ...,3г. (79.1)
Пространственные группы и классическая теория колебаний решетки 207
дения с одной и двумя точками (72.17) и (72.20):
"(|l)=s'Av
e°(x| )’ер(х/| )
или в компонентах
^ е'а (х I к )е<х ( * I iv ) = б//'би'’ z Е 1 / ) ва( и I ) = ба&бх>
(79.8)
(79.9)
(79.10)
(79.11)
Из-за эрмитовости [/)(&)], подобно (78.6), собственные значения (79.3) удовлетворяют условию
а>2 (Лг | /) вещественны.
(79.12)
Благодаря тому что матрица силовых постоянных [Ф] неотрицательна, динамическая матрица \D{k)] является тоже неотрицательной и мы имеем [4]
со2 (ft | /) > 0 условие устойчивости.
(79.13)
Предыдущая << 1 .. 63 64 65 66 67 68 < 69 > 70 71 72 73 74 75 .. 127 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed