Гидродинамика. Методы. Факты. Подобие - Биркгоф Г.
Скачать (прямая ссылка):
P=Po-to(^4UVU+G)> (8*)
Подобным образом условие того, что скорость тела относительно жидкости на бесконечности равна —а, может быть записано в виде
lim grad U — л (9)
X -> оо
и для несжимаемого, и для сжимаемого течения.
Наконец, поскольку течение стационарно, то должны быть
стационарны и границы течения. Отсюда условие непроницаемо-
сти (7) сводится к условию
= 0 на границе. (7*)
*) Если справедливо соотношение (За), то I dp/f = ’[PK'i—1) р == = с2/(7— 1).
24
Гл. I. Парадоксы невязкого течения
В случае безвихревого сжимаемого течения уравнение неразрывности (1) все еще можно записать при помощи единственной неизвестной функции ?/(х), если только пренебречь эффектом гравитации, что обычно допустимо при достаточно больших скоростях, когда становится заметной сжимаемость1). (Если гравитацией нельзя пренебречь, как, например, в случае атмосферных движений больших масштабов, то условие (9) не может быть выполнено, даже несмотря на то, что безвихревое течение является допустимым.)
Кинематика баротропного течения. Полагая G = 0 в уравнении (8), при описанных выше условиях мы можем получить равенство
^JL = c2 =__— =------^, (9*)
d? 6 h'(p) J(VU-VU) ’ ’
где / — функция, обратная функции 2p(Jp0— 2 J d^jh'(p)р*2), С другой стороны, из уравнения (1) при d$jdt = 0 следует Р-1 div(pu) = 0, или
vur— 1 ди ди d4J лm
с2 dxj дх^ dxj дх/, ’ ^
Другая форма уравнения (10) имеет вид
где локальное «число Маха» М = qfc есть отношение локальной скорости течения q к локальной скорости звука с, а все коэффициенты UjUk/q2 меньше или равны 1.
Подставив в уравнение (10) выражение для 1/с2, взятое из формулы (9*), мы получим ([10], стр. 240) уравнение
W = y(T?/.W)2^-^-5^- (П)
Одно-единственное уравнение в частных производных (II) вместе с краевыми условиями (9) и (7*) сводит задачу для случая стационарного сжимаемого течения баротропной жидкости нулевой (малой?) вязкости к другой правдоподобной краевой за-
') В случае несжимаемости гравитационный эффект сводится к обыкновенной гидростатической подъемной силе, как показано в § 21.
2) При этом последнюю функцию надо рассматривать как функцию аргу-
мента Л'(р). — Прим. перев.
даче. Если только последняя задача решена, то из уравнения (8) можно легко найти поле давления.
Таким образом, мы свели задачу стационарного течения к чисто кинематической задаче. Если дано любое математическое решение уравнений (11), (9) и (7*) и если посредством уравнения (8) определено поле давления при G = 0, то уравнение движения (2) удовлетворяется автоматически. Очевидно, что задача Неймана из § 4 получается как предельный случай при с ~>оо. Допущение (F), таким образом, позволяет получить гораздо больше, а именно, что решение можно разложить по степеням М2 (метод Рэлея — Янцена, [15], стр. 275).
§ 6. Парадокс обратимости
Одной из фундаментальных задач гидромеханики является определение силы, действующей на твердое тело, находящееся в стационарном поступательном движении с постоянной скоростью а в однородной покоящейся жидкости. Если твердое тело движется параллельно некоторой плоскости симметрии, то эту силу можно разложить на лобовое сопротивление Д подъемную силу L и момент М, действующий в этой плоскости.
Лагранж мог бы заметить, пользуясь весьма простыми соображениями обратимости, что идеализированная краевая задача § 5 может не привести к правильному результату при определении сопротивления, испытываемого реальными твердыми телами при движении в реальных жидкостях. Основная мысль заключается в следующем (см. [1]).
Определение 1. Обращение течения u(х; t) определяется как v(x; t) = —и(х;—t), причем в обоих течениях давление и плотность в соответствующих точках одинаковы.
Прямой подстановкой можно показать, что обращение любого течения, удовлетворяющего уравнениям (1) — (3), также удовлетворяет уравнениям (1) — (3), правда, при обращении и краевых условий. В частности, справедлива следующая лемма.
Лемма. Если и(х) есть стационарное безвихревое течение вокруг твердого препятствия и и(оо) = а, го таковым является и v(x) =—u(x) при v (оо) = — а. Кроме того, поля давления, так же как и D, L и М, одинаковы для и(х) и v(x).
Эта лемма находится в качественном противоречии с динамикой реальных жидкостей: в действительности изменение направления движущегося тела на противоположное обычно
26
Гл. 1. Парадоксы невязкого течения
влечет обращение величин D и L (хотя и не М) '), а не оставляет их неизменными.
Поучительно проанализировать предыдущее противоречие подробнее. Пока не установлено, что краевая задача в § 5 корректно поставлена, нельзя делать вывод о том, что ее уравнения ошибочны. Возможно, что потребуется ввести какое-нибудь дополнительное условие. Действительно, как мы увидим в § 10, это может оказахься справедливым для сверхзвукового течения (т. е. если число Маха М> 1). Чтобы пояснить это, проведем следующее разграничение:
Определение 2. Будем называть гидродинамические теории неполными, если соответствующие условия определяют обтекание данного препятствия не единственным образом; переопределенными, если эти условия математически не совместны; ложными, если корректно поставленная задача дает грубо ошибочные результаты.
