Гидродинамика. Методы. Факты. Подобие - Биркгоф Г.
Скачать (прямая ссылка):
Рассмотрим семейство независимых от времени сжимаемых течений, зависящих от параметра 8 — толщины крыла. Мы предполагаем (гипотеза (Е) из § 1), что потенциал скорости можно записать в виде
U —ах-М<р(х, У. z)-)-0(52). (14)
Подставляя его в формулу (10) и делая обычные в теории возмущений допущения, мы получаем ') при 8->-0
(М2— 1)<р„ = <рУ1Г-|-<Рм, М = а/с. (14*)
Ясно, что случаям дозвукового течения (М<1), звукового течения (М = 1) и сверхзвукового течения (М>1) отвечают уравнения в частных производных соответственно эллиптического, параболического и гиперболического типов2). Это простое замечание уже указывает на то, что краевая задача корректно поставлена лишь в дозвуковом случае.
В случае плоского течения <р = <р(х, у) еще со времен Даламбера известно, что общее решение уравнения (14*) имеет вид
* = F(x—V М2—1 у)+0(д:+/М2—1 у), (15)
где F(r) и G(s) — произвольные функции.
>) См. [6], § 141 или [101, стр. 245. Более подробное описание приложений см. в [10], гл. VIII.
s) Это верно также н без линеаризации, но в таком случае М будет зависеть от координат. Следовательно, возможны трансзвуковые потоки и соответствующие им дифференциальные уравнения смешанного типа (эллиптические в одних областях и гиперболические в других), как показано в § 6. [Смешанным течениям посвящена обширная литература; см., например, [7*1 и [8*]. — Прим. ред.]
§ 10. Волновое лобовое сопротивление тонких крыльев
35
Для того чтобы определить F(r) и G(s), нужно использовать условие (7), которое при стационарном течении сводится к ра-
dU Л венству = 0 или
<?-==ат{ {х) (15')
для «тонкого крыла», ограниченного кривой у = т)(*). Мы заменили в (15')"^f на -gj. предположив, что тангенс угла наклона ti'(jc) < 1. Действительно, такая гипотеза (или, вернее, V(*) ^ М) является основным допущением теории тонкого крыла.
Чтобы избежать парадокса обратимости и получить корректно поставленную задачу, необходимо систему (15), (15') дополнить некоторой добавочной гипотезой необратимости, выражающей интуитивно очевидный физический факт, что «волны скатываются вниз по течению». Если мы расположим тонкое крыло вдоль оси х, то последнюю гипотезу можно записать в следующем виде:
. . ( F(x—VМ2—1 у), если у <0,
?(•*•'У) — 1 / г----------- (15*)
I G{x-\- V^M2— 1 у), еслиу>0.
С учетом результата подстановки в уравнение Бернулли (5) наша система уравнений позволяет заключить о существовании волнового давления, которое, в приближении теории возмущений, получается в виде р = pa2Tj'(Jt) на верхней поверхности крыла у = т) (х) и в виде р = ра\(х) на нижней поверхности крыла у = ч\(х). Определив продольную составляющую давления и выполнив интегрирование, мы получим для лобового
сопротивления D= (j> /? dy выражение
D~pa2f (-q'd-n-i- r,'di) = pat Jh,2 + ?2J^. (16)
где интеграл берется по длине крыла.
Для достаточно малых углов наклона приведенные формулы вполне хорошо согласуются с экспериментом ([10], стр. 346, 350) и, очевидно, дают положительное сверхзвуковое «волновое лобовое сопротивление». Любопытно, что они согласуются с очень старой квазиэмпирической формулой Эйлера, в которую входит универсальный постоянный множитель, определяемый, по предположению, экспериментально ‘).
’) Относительно применения к баллистическим задачам см. [5], § 12—16.
36
Г л. /. Парадоксы невязкого течения
§ II. Тонкие тела вращения
Слишком сложно рассматривать здесь применение уравнения (14*) Прандтля — Глауэрта к сверхзвуковому обтеканию так называемых «тонких», или «удлиненных», тел произвольной формы1). Мы только приведем несколько примеров, иллюстрирующих общий тезис о том, что если результаты не получены математически и физически строго, то им присуща тенденция становиться ненадежными.
Относительно простую задачу представляет собой осевое обтекание твердых тел вращения (артиллерийские снаряды без рыскания). Карман и Мур2) первыми пришли к выводу, что наличие волнового лобового сопротивления вызывает резкий рост сопротивления при движении тонкого снаряда, когда М= 1, и оценили это возрастание сопротивления на основе упрощений, указанных в § 10. Более чем через 10 лет Копал распространил этот вывод на снаряды с рысканием и показал, что упрощенная теория приводит к ряду ошибочных заключений3). В частности, в случае конусов под углом атаки поперечная сила, подсчитанная по формулам из § 10, убывает с возрастанием М, в то время как правильное приближение по теории возмущений дает ее увеличение (парадокс Копала).
В настоящее время признано (см. прим. 1) на этой стр.), что простая линеаризованная теория, приведенная в § 10, даже для тонких тел приводит к неправильному значению силы. В случае обтекания сверхзвуковым потоком тонких тел вращения, квадратичные члены в уравнении Бернулли при подсчете давления будут того же порядка величины, что и линейный член4).
Для некоторых частных приложений простые линеаризованные уравнения из § 10 нужно видоизменять тем или иным способом5). Так, для крыльев конечного размаха под углом атаки нужно рассматривать сбегающие вихревые слои. Кроме того,
