Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Биркгоф Г. -> "Гидродинамика. Методы. Факты. Подобие" -> 10

Гидродинамика. Методы. Факты. Подобие - Биркгоф Г.

Биркгоф Г. Гидродинамика. Методы. Факты. Подобие — М.: Иностранная литература, 1963. — 246 c.
Скачать (прямая ссылка): gidrodinamikametodipodobie1963.pdf
Предыдущая << 1 .. 4 5 6 7 8 9 < 10 > 11 12 13 14 15 16 .. 96 >> Следующая

Теорема 1. Всякая обратимая гидродинамическая теория в отношении расчета лобового сопротивления и подъемной силы является неполной, переопределенной или ложной.
Дозвуковой случай. В дозвуковом случае, М < 1, по крайней мере для достаточно малого числа Маха недавно было показано2), что краевая задача, определяемая уравнениями (11), (9) и (7*) из § 5, является корректно поставленной. Поскольку эта задача эллиптического типа, ее математическое решение t/(x) должно быть аналитическим. Отсюда мы заключаем, что уравнения Эйлера—Лагранжа дают ложную теорию для стационарного дозвукового потока.
Околозвуковой случай. По поводу этого случая, когда в дозвуковом потоке имеются локальные сверхзвуковые зоны, высказано много различных и противоречивых утверждений. Были построены математические модели подобных околозвуковых течений 3), но они, по-видимому, очень слабо отражают физическую
') Классическая гидродинамика правильно предсказывает тенденцию осесимметричных препятствий подставлять потоку более широкую сторону: ср. [7], § 71, 124. (В случае тел, обладающих продольной симметрией, при обращении потока L остается неизменным, а у М изменяется знак.)
2) Graff i D., I. Rat. Mech. Analysis, 2 (1953), 99—106; Gilbarg D„ там же, 233—251; Gilbarg D. and Serrin J., там же, 4 (1955), №9—175; Bers L., Comm. Pure Appl. Math., 7 (1954), 441—504; Finn R. S. and Gilbarg D., там же, 10 (1957), 23—64 и Acta Math., 98 (1957), 265—276. Это обобщает результат из § 4 на случай М ¦= 0 (задача Неймана). [Случай малых М см. в [3*] - Прим. ред.]
3) Мизес Р., Математическая теория течений сжинаемой жидкости, ИЛ, М., 1961, § 25, п. 3.
§ 7. Парадокс Даламбера
27
картину. Еще более драматическим обстоятельством является то, что для некоторых профилей никакое околозвуковое течение без ударной волны невозможно. Этот парадокс околозвукового течения недавно установлен К. Моравец1). По терминологии теоремы 1, это означает, что задача околозвукового течения в теоретической (Эйлера — Лагранжа) гидродинамике может быть переопределенной.
В § 10 мы увидим, что задача сверхзвукового течения — типичная неполная задача, и примечательно, что различные разрешения парадокса обратимости в трех предыдущих случаях находятся в соответствии с общей математической теорией краевых задач эллиптического, смешанного и гиперболического типов.
§ 7. Парадокс Даламбера
Более известным и более давним, чем парадокс обратимости, является парадокс Даламбера. Согласно этому парадоксу, из допущений, сделанных в § 5, следует D = L = 0. Для случаев
кругового цилиндра (рис. 1) и сферы это следует, в силу симметрии, из явной формы потенциала скоростей:
U=а (цилиндр), (12а)
(сфера) (126)
и теоремы Бернулли (8*) при g = 0. Если задача корректно поставлена, то наличие четырехкратной симметрии, как в данных случаях, позволяет показать, что D = L = 0, исходя только из соображений обратимости ([1], стр. 248).
Вообще же парадокс Даламбера следует из принципа обратимости для любого профиля, который обладает центральной симметрией, т. е, для такого, который отображается в себя при
, Comm. Pure Appl. Math., 9 (1956), 45- 68, 10 (1957), 107—131 и 11 (1958), 129-144, [См. также [4*1, [5%-Прим. ред.] '
28
Гл. I. Парадоксы невязкого течения
отражении относительно неподвижного центра симметрии. Обтекание плоской пластинки на рис. 2, а дает пример подобного рода. Давления, действующие на элементы поверхности, соответствующие друг другу при центральной симметрии, равны по величине и противоположны по направлению. Следовательно, эта система сил сводится только к паре сил (см. прим. 1) на стр. 26).
Разделяющаяся
линия пюка
Рис. 2. Обтекание плоской пластинки, по Эйлеру (а), по Жуковскому (б) и по Гельмгольцу (в).
Демонстрация парадокса в общем случае дело довольно тонкое, при этом используется сложная теорема о поведении решений уравненияV2U — О на бесконечности. А именно, пусть U(x) возрастает на бесконечности, по крайней мере как первая степень |х] = г. Тогда можно показать, что
U— а • x~jr 9 (х),
где ф(х) «регулярна на бесконечности» ([4], гл. X, § 8; [2*]). Под этим мы понимаем то, что <р(х) можно разложить в некоторый
§ 8, Теория крылового профиля
29
сходящийся ряд (аналогичный ряду по отрицательным степеням в разложении Лорана), члены которого суть произведения отрицательных степеней г и сферических гармоник, выраженных через широту и долготу. (Для таких решений уравнения VW ~ 0 правдоподобная гипотеза (Е) подтверждается, следо-вательно, строгой теоремой.)
§ 8. Теория крылового профиля
Не смущаясь приведенными выше парадоксами, ученые сумели правильно получить, по крайней мере качественно, лобовое сопротивление и подъемную силу, оставаясь в рамках уравнений движения Эйлера. Вся хитрость заключается в том, чтобы избежать употребления гипотезы (D), которую применяли Эйлер и Лагранж, а это можно сделать, используя разрывные и многозначные потенциалы, (Такие функции, правда, часто рассматриваются «практиками» как патология!)
Для определения лобового сопротивления можно постулировать наличие застойной кильватерной зоны (след, область «мертвой воды») с U — 0 позади препятствия, простирающегося до бесконечности, как на рис. 2, в. Эта зона отделена от главного течения «свободными линиями тока» с постоянным давлением, причем скорость а — VU изменяется скачкообразно при переходе через эти линии. Эта модель будет изучена в § 39.
Предыдущая << 1 .. 4 5 6 7 8 9 < 10 > 11 12 13 14 15 16 .. 96 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed