Гидродинамика. Методы. Факты. Подобие - Биркгоф Г.
Скачать (прямая ссылка):
В связи с этим, остальная часть первой главы будет посвящена анализу некоторых парадоксов классической гидродинамики. В гл. II мы уделим внимание аналогичным (но не столь широко известным) парадоксам «современной» динамики жидкостей.
§ 3. Уравнения Эйлера
Мы начнем с рассмотрения основных уравнений для невязких жидкостей, выведенных Эйлером и Лагранжем. Пусть и = = и(х, t) означает вектор скорости жидкости в точке х в момент времени t. Пусть р(х, t) означает плотность жидкости, g(x, t) — внешнее гравитационное2) поле и р(х, t)—давление в жидкости.
Если принять правдоподобную гипотезу (Е) из § 1 (игнорируя молекулярную структуру вещества!), то легко показать, что закон сохранения массы эквивалентен следующему уравнению
') См. Пой а Д., Математика и правдоподобные рассуждения, ИЛ, М., 1957. Парадоксы возникают даже в чистой математике; см. N о г t h г о р Е. Р., Riddles in Mathematics, Van Nostrand, 1944.
2) Этим термином автор пользуется в более широком смысле, чем это обычно принято, применяя его для поля массовых (или объемных) сил.— Прим. перев.
§ 3. Уравнения Эйлера
19
в частных производных:
div(pu)+^ = 0 (уравнение неразрывности). (1)
Если обозначить «субстанциональную» производную по времени для наблюдателя, движущегося вместе с жидкостью, через D/Dt = d/dt + 2uhdjdxh, то можно переписать (1) в виде
-jjf+ Р div u = 0. (Г)
Случаю несжимаемости соответствует Dp/Dt = 0, и, следовательно, div и = 0.
При и = 0, когда жидкость находится в состоянии покоя, напряжение в жидкости на любой элемент поверхности действует по нормали к нему. Это — физическое определение жидкости; экспериментально проверено, что ему удовлетворяют многие реальные вещества.
Эйлер предположил, что этот закон гидростатики применим также к движущимся жидкостям, т. е. в гидродинамике. Этот закон приближенно удовлетворяется во многих случаях движения жидкостей (исключая области вблизи границы). Например, изменение скорости на 50 м/сек в слое воздуха толщиной в четверть миллиметра вызывает усилие сдвига, составляющее примерно 1/2000 атмосферного давления ([3], стр. 2).
Непрерывные жидкости, удовлетворяющие гипотезе Эйлера, называются невязкими'). Как показал Коши, напряжение в невязкой жидкости должно быть одинаковым во всех направлениях (изотропным); получающаяся скалярная функция р(х, t) может быть названа давлением. Далее, закон сохранения количества движения эквивалентен следующему векторному уравнению в частных производных:
D 1
+ у grad р = g (уравнение движения). (2)
Для того чтобы получить замкнутую систему уравнений в частных производных, в которой все производные по времени могут быть выражены через производные по пространственным координатам 2), к уравнениям (1), (2) нужно добавить еще одно соотношение. В теоретической механике однородных невязких
') В соответствии с гипотезой (В) из § I воздух и воду можно рассматривать как нееязкие жидкости.
*) Так, что начальные условия будут определять задачу Коши в обычном математическом смысле.
20
Г л. /. Парадоксы невязкого течения
жидкостей обычно вводится соотношение, связывающее плотность и давление:
Баротропные течения. Невязкие жидкости, удовлетворяющие условию (3), могут быть названы баротропными, а движения жидкости, удовлетворяющие уравнениям (1) — (3),— «баротропными течениями». Эти течения встречаются в (приближенно) однородных жидкостях при условиях, которые являются термодинамически обратимыми. (Под «однородной жидкостью» мы понимаем жидкость, имеющую однородное строение, например чистую воду или воздух.)
Именно такие жидкости обычно рассматриваются в акустике и в аэродинамике больших скоростей. Быстрое сжатие и расширение— типичные адиабатические процессы ') в том смысле, что можно пренебречь теплопроводностью. Кроме того, пренебрежение теплопроводностью логически не противоречит пренебрежению вязкостью в уравнении (2), поскольку как теплопроводность, так и вязкость представляют собой молекулярные явления.
В случае идеального газа с термодинамическим уравнением состояния р = pRT и постоянным отношением теплоемкостей Cp/Cv = ^ элементарные рассуждения дают для адиабатического течения соотношение
— так называемое политропное уравнение состояния для идеального термодинамически совершенного газа. Предельный случай 7 = 1 соответствует изотермическому течению (бесконечная теплоемкость или в бесконечном изотермическом резервуаре бесконечная проводимость).
Уравнение (За) достаточно точно для многих задач газовой динамики; для воздуха f = 1,4. Однако для жидкостей уравнение (3) необходимо брать (приближенно) в виде (р — pv) = Арт, где pv есть давление паров при кавитации (см. § 42).
Соотношение вида (3) является также приемлемым для жидкостей, которые только незначительно сжимаемы (т. е. при ско-
') Напомним, что Ньютон («Principia Mathematics», Книга II, отдел 8, предложение 48; русский перевод—в «Собрании трудов А. Н. Крылова», т. VII, М —Л., 1936; см. там же, cip. 480) принимал для изотермического течения закон Бойля, что привело к неправильному выводу скорости звука. Ошибка Ньютона была исправлена Лапласом ([7], стр. 477; в русском издании стр. 596; см. также указанный том «Собрания трудов А. Н. Крылова», стр. 485, прим. 175).
