Гидродинамика. Методы. Факты. Подобие - Биркгоф Г.
Скачать (прямая ссылка):
Однако краевые задачи теоретической гидродинамики чрезвычайно трудны, и продвижение в этой области шло бы гораздо медленнее, если бы строгая математика не дополнялась различными правдоподобными интуитивными гипотезами. Наиболее плодотворными среди них были следующие.
(A) Определяя, какие физические переменные необходимо рассматривать, можно полагаться на интуицию.
(B) Эффект малых воздействий мал, а эффект бесконечно малых воздействий бесконечно мал.
(C) Симметрия воздействия обусловливает симметрию эффекта.
(D) Топологию течения можно уловить интуитивно.
(E) Операции анализа применимы без ограничений: функции, рассматриваемые в теоретической гидродинамике, можно свободно интегрировать, дифференцировать, представлять в виде рядов (Тейлора, Фурье) или интегралов (Лапласа, Фурье).
(F) Математические задачи, поставленные на основе интуитивных физических представлений, считаются корректными.
Приведенные правдоподобные предположения обычно принимаются без оговорок, как сами собой разумеющиеся. Первые две главы этой книги посвящены главным образом подробному исследованию их приемлемости.
') Для простоты наложения мы не касаемся закона сохранения энергии и других термодинамических соображений, которые также можно привлечь (см. § 14)
г) Лагранж Ж- Л., Аналитическая механика, т. II, М.—Л.. 1950, стр. 307,
§ 2. Гидродинамические парадоксы
17
§ 2. Гидродинамические парадоксы
На деле в ряде случаев уравнения Эйлера были проинтегрированы, но результаты расчетов резко расходились с наблюдениями, что явно противоречит мнению Лагранжа. В гидродинамике такие несомненные противоречия между экспериментальными данными и заключениями, основанными на правдоподобных рассуждениях, называются парадоксами, и в дальнейшем этот термин будет употребляться именно в таком смысле.
Эти парадоксы были предметом многих острот. Так, недавно было сказано1), что в девятнадцатом веке «гидродинамики разделялись на инженеров-гидравликов, которые наблюдали то, что нельзя было объяснить, и математиков, которые объясняли то, что нельзя было наблюдать». (Нам кажется, что представители обоих видов все еще встречаются.) Да и Сидней Гольдштейн заметил, что всю книгу Ламба [7] можно прочитать, не представляя себе, что вода... мокрая!
Теперь обычно заявляют, что подобные парадоксы возникают из-за отличия реальных жидкостей, имеющих малую, но конечную вязкость, от идеальных жидкостей, имеющих нулевую вязкость2). Из этого, по существу, следует, что утверждение Лагранжа (см. прим. 2 на стр. 16) можно подправить, поставив «Навье — Стокс» вместо «Эйлер».
Это утверждение будет критически рассмотрено в гл. II; оно, пожалуй, в принципе верно для несжимаемого вязкого течения. Однако, мы полагаем, что если понимать его буквально, то оно может ввести в заблуждение, поскольку явно не выделены перечисленные выше правдоподобные гипотезы и не учтен тот ущерб в строгости, который обусловлен их применением.
Тем не менее нам не известно ни одного случая, когда дедукция, строгая как физически, так и математически, привела бы к неправильному заключению, но лишь очень немногие выводы теоретической гидродинамики могут быть строго установлены. Для самых интересных из них широко использовались одна или несколько из упомянутых гипотез (А) — (F).
Это можно показать на примере уравнений Навье — Стокса. Они явно непригодны для учета релятивистских эффектов, молекулярной структуры, квантовых эффектов, равно как таких специфических явлений, как ионизация, электростатические силы, загрязнения во взвесях, конденсация и т. п., каждое из которых может вызвать серьезные осложнения, как будет
') Hinshel wood С.; цитируем по Лайтхиллу [Lighthill М. Y., Nature, t78 (1956), 3431; см. также [11], т. 1, Введение.
*) См. [3], § I, 14; [11|, т I, Введение; т. 2. Введение; Hunter Rouse, Fluid Mechanics for Hydraulic Engineers, McGraw-Hill, 1938, стр. 10,
18
Г л. I. Парадоксы невязкого течения
показано ниже. Стало быть, уже сразу широко используется гипотеза (А). В случае сжимаемого течения остается открытым даже вопрос о том, какой смысл имеет понятие «второй» вязкости (§ 22, 33).
Мы не настаиваем на том, чтобы впредь не использовать в теоретической гидродинамике гипотезы (А) — (F) —даже в чистой математике правдоподобные соображения играют очень важную роль '). В гидродинамике продвижение едва ли было бы возможно без широкого использования таких правдоподобных гипотез, а полная строгость редко бывает достижимой. Мы только настаиваем на том, что, прежде чем считать научно установленными заключения, основанные на правдоподобных соображениях, их надо проконтролировать либо с помощью строгих доказательств (как в чистой математике), либо с помощью эксперимента.
Напротив, мы считаем, что нужно только приветствовать открытие гидродинамических парадоксов, искренне признав неспособность существующей математики (и логики) адекватно отображать сложные и удивительные явления природы. Опыт показывает, что человеческое воображение гораздо более ограничено, чем ресурсы природы; как писал Паскаль, «воображение скорее устанет постигать, чем природа поставлять».
