Гидродинамика. Методы. Факты. Подобие - Биркгоф Г.
Скачать (прямая ссылка):
Подобным образом, хотя существование безударных центрированных волн разрежения возможно, волны сжатия связаны с ударными волнами, из-за чего весьма усложняется исследование существования решения в «большом» для автомодельных волн взрыва.
Другой интересный пример трудности определения глобального решения представляют собой осесимметричные струи (ламинарные, вязкие). Как показано в § 83, уравнения Навье — Стокса можно свести к обыкновенным дифференциальным уравнениям, если использовать автомодельное поле скоростей, имеющее в сферических координатах вид
и = г-Ч (0). (38)
К сожалению, как показал Беран3), результирующее обыкновенное дифференциальное уравнение (17) не имеет глобальных решений, удовлетворяющих естественным краевым условиям для струи, вытекающей из круглого отверстия в плоской стенке или из какого-либо другого конического отверстия. Вопреки некоторым опубликованным результатам, по-видимому, только струя, вытекающая из труб с параллельными стенками, математически совместима в «большом» с требуемой симметрией (38) и естественными краевыми условиями.
Локальная теорема существования. Даже общие локальные теоремы существования нелегко доказать. Один
') ZAMM, 20 (1940), 186—198; см. также [15], гл. V § 4 и VII § 8.
2) Наиболее аккуратное исследование проведено автором и Уолшем, Walsh J. М., Riabouchinsky Jubilee Volume, Paris, 1954, 1—12.
3) Вег ап М-, Quar. Appl. Math., 14 (1956), 213—214,
§ 89. Локальные и глобальные решения
179
из положительных результатов формулирует следующая ') теорема (мы просим прощения у читателя за абстрактную математическую терминологию, которой мы воспользуемся ради краткости).
Теорема 1. П усть X = Г X Е есть прямое произведение своих подпространств Г и Е и пусть для каждого фиксирован* ного а ? Е группа G преобразований пространства X транзитив-на 2) на множестве (у, а), где переменная у ? Г. Если дифференциальное уравнение D [и] = 0, определенное в X, инвариантно относительно G, то на Е существует дифференциальное уровне-ние Л[{/] = 0 порядка не более чем D[u\ = 0 и такое, что и(х) = = и (Y’ 1) = U (1) удовлетворяет уравнению D[«] = 0 тогда и только тогда, когда U(%) удовлетворяет Л [f/] = О для ? (; ?.
Доказательство. В окрестности каждой точки х = = (у, |) из X можно ввести в X локальные координаты fi, . .к, и Е], Всякая р-я частная производнаяХ^н] по
этим координатам будет иметь простой вид Г*"1* [и] Е{р~т) [м]( где Г*"1' и Eip~m) — частные производные по координатам -р, ..., у, и \п-г для Г и ? соответственно. Отсюда всякий оператор в частных производных = ..., xWj порядка
q на функциях и (к), определенных на X, можно записать в виде соотношения
D = W{r(m?(^-m^)}, (39)
которое представляет собой функцию частных производных на Е порядка не больше q.
Но те функции U {%) = и (у, 1), значение которых в любой точке х = (у, |) зависит только от у (т. е. функции, инвариантные относительно G), оператор Ej переводит в другие функции того же класса, а оператор Г; (группа G транзитивна) переводит их в 0. Поэтому для таких функций оператор D эквивалентен дифференциальному оператору на Е, полученному отбрасыванием всех членов, в которых mj > 0. Этим теорема доказана.
Следствие. Если задача D [и] = 0 корректна для некото-р jro класса краевых условий, инвариантного относительно G, то корректна и задача А [и] = 0.
Хотя при доказательстве локальных теорем существования
') См. также Morgan J. A., Quar. J. Math., 3 (1952), 250—259. Если дифференциальные уравнения линейны и группа С компактна, можно подойти к вопросу иначе — с точки зрения интегрирования на группах.
2) Это означает, что для данных (г, *) и (f , ») в С существует такое g, что g(r, я) =>т'| *)¦ Мы предполагаем, что Г и Е — дифференцируемые многообразия. и
180
Гл. V. Теория групп и гидромеханика
для обыкновенных дифференциальных уравнений аналитичность несущественна1), в теоремах существования для уравнений в частных производных такое условие часто существенно.
В случае аналитических уравнений с частными производными (и аналитическими группами симметрии) уравнение (39) также будет аналитично. В этом случае для многих задач с начальными условиями мы располагаем хотя бы локальными теоремами существования. Так, предположим, что все производные по времени входящих в уравнение функций ф,(х; /), х = (*i..хп) вы-
ражаются через и их первые производные по пространственным координатам, так что можно записать уравнение
Тогда теорема существования Коши — Ковалевской2) утверждает, что уравнение (40) имеет одно и только одно локальное аналитическое решение для данных аналитических начальных условий ф»(х; 0) при t = 0.
А теперь предположим, что уравнение (40) инвариантно относительно группы G. Пусть <р;(х; 0) = G,(x) есть множество аналитических начальных условий, инвариантное относительно G. Тогда единственное локальное решение, которое существует, согласно предыдущей теореме, тоже будет инвариантно относительно G. Следовательно, мы имеем локальную теорему существования (и единственности) для приведенного дифференциального уравнения, полученного методом поиска симметричных решений, если только таковая теорема имеется для первоначальных дифференциальных уравнений.
