Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Биркгоф Г. -> "Гидродинамика. Методы. Факты. Подобие" -> 64

Гидродинамика. Методы. Факты. Подобие - Биркгоф Г.

Биркгоф Г. Гидродинамика. Методы. Факты. Подобие — М.: Иностранная литература, 1963. — 246 c.
Скачать (прямая ссылка): gidrodinamikametodipodobie1963.pdf
Предыдущая << 1 .. 58 59 60 61 62 63 < 64 > 65 66 67 68 69 70 .. 96 >> Следующая

') Jeffery G. В.. Proc. Lond. Math. Soc., 14 (1915), 327—338; Ham-mel G., Jahr. Deutsche Math. Ver., 25 (1916), 34—60.
J) Это можно вывести из гл. II (II), так как го( g = 0 в консервативном поле и ?‘V=0 в силу того, что;, —\г = д1дг = 0. Этот результат можно найти также в [8], стр. 573, пример 7,
„4,, К) 1 d(V2V, V) _
д(х, у) г д (г, 0) —
__ '<3(V2VQ дУ д(У*У)
дг дг дЬ
(6)
г' = е*г, б' = 9 + р.
г' = е*г, 6' = 0 4- ci
(7)
164
Гл. V. Теория групп и гидромеханика
натах соотношении (г, 0) =* (е\ в) посредством преобразования (7) при а = — Я. получаем соотношения
V(e\ b)-V(e\ А)=У(1, 0 —А)— У(1, 0) = F(x), х = в-с\.
По той же причине в случае автомодельных относительно группы (7) течений равные изменения К вызывают равные изменения V(e~x, ck); поэтому V(ех, cX) = aX-(-ft есть линейная функция от А,. (Постоянная b не влияет на скорость, и ее можно положить равной нулю.) Комбинируя этот результат с соотношением (8), мы получим формулу
Согласно этой формуле, течение определяется произвольной постоянной а и функцией одной переменной F. Наиболее интересен случай, когда линии тока — спирали, т. е. когда а = 0 в формуле (9).
Как и раньше, мы сделаем подстановку в дифференциальное уравнение общего вида (6); далее следуют выкладки.
В общем виде получается уравнение
откуда, в силу формулы (9), V2V = e~2X(c2+l)F".
Снова дифференцируя, получаем следующие уравнения:
Из формулы, дающей отношение площадей в якобианах, д/д(х, у) = г~гд/д(\, в) следует, что уравнения Навье — Стокса (6) эквивалентны уравнению
Выполняя указанные действия, используя равенства (10), (1(К) и сокращая на общий множитель (с2—J- 1)/г* = е~4Х(с3-+-1), мы получаем уравнение
V 1(с! +1)Лу + 4 cF"+4И + aF” + 2FF' = 0. (11)
(8)
V(r, 6) = aX+/r(x)« * = !nr, x = 0 —<A. (9)
(10)
1 [dV d(V*V) dV d(—~
r* L dd d\ dk
§ 82. Пограничные слои у клиньев
165
Это и есть обыкновенное дифференциальное уравнение, полученное Озееном1); трудно найти другой столь же простой его вывод. С помощью подстановки G = F' можно придать уравнению (11) несколько более привлекательный вид; кроме того, оно удовлетворяется всегда, когда F" = 0. Во всяком случае, решения можно получать численным интегрированием.
§ 82. Пограничные слои у клиньев
Рассмотрим теперь задачу интегрирования уравнений ламинарного пограничного слоя в случае стационарного плоского течения; они уже были приведены в § 27. Эти уравнения имеют вид
ди , ди . du_ . дги ди . dv _
и Их V ду ~ °° dx ду* ’ 'дх~^ ду ~~°* О2)
а краевые условия таковы:
к = х> = 0 при у=0, х > 0 (13)
и
lim и(х, у) = иао(х). (13')
у-*оо
Как было отмечено в § 74, приведенные уравнения выведены в асимптотическом приближении. Это подсказывает нам мысль рассматривать масштабы х и у как независимые измерения и искать решения, симметричные относиуельно нетривиальных подгрупп четырехпараметрической группы аффинных преобразований
х —*¦ ях, у->?у, «->?«, v-+bv. (14)
Можно надеяться на успех в случае обтекания бесконечного симметричного клина. В этом случае с помощью элементарного конформного преобразования можно показать, что эйлерово течение вне пограничного слоя имеет вид2) u«,(x) = cxm при подходящих значениях постоянных сит. Случай пг = С соответствует плоской пластинке, параллельной потоку; случай m = ‘/2 соответствует плоской пластинке, перпендикулярной потоку.
Проверяя условия (12) и. (13') на инвариантность относительно группы (14) при Uoo(x) = cxm, мы получаем однопара-метричесхую подгруппу, определяемую соотношениями
Р=а<1-'п>/2, ^ = а™ (тривиально), 5 = ат_1Р = 1/р. (14*)
¦) См. О seen С. W., Arkiv for Mat., 1—11, 1927—1928, или [71], гл. 11. Относительно асимптотического поведения при малом v см. К u е г t i G., J. Math. Phys. MIT, 30 (1951), 106—115.
2) Доказательство дали Falkner и Skan [77]; см. также [3], § 64. Случай плоской пластинки впервые рассмотрел В 1 a S i u s [65]; см. также Wеу 1 [66], Geis [67].
166
Гл. V. Теория групп и гидромеханика
Переменная ti = (их/х) <1гу инвариантна относительно этой подгруппы; поскольку величина V = j и dy получается в виде
a(m+i)nyt Т0 инвариантна также и функция f, определяемая равенством V = }(х, у). Поэтому мы ищем решение частного вида
V = х(т 11)/2/(^), т. е. решение, инвариантное относительно подгруппы (14*).
Всякое решение V такого вида удовлетворяет условиям (13), (13') и второму уравнению из формул (12), если /'(оо) =* с. Для того чтобы удовлетворялось оставшееся уравнение, необходимо и достаточно, чтобы функция f(rj) удовлетворяла уравнению
m(f- 0--^-//"=-/"'. (15)
Последнее уравнение можно проинтегрировать численно') при краевых условиях /(0) = /'(О) = 0, /'(оо) = с.
§ 83. Струи и следы в вязкой жидкости
С помощью рассуждений, аналогичных предыдущим, можно рассчитать, в приближении пограничного слоя, асимптотический профиль скоростей ламинарных вязких струй как для плоского, так и для осесимметричного течений.
Ввиду инвариантности уравнения пограничного слоя и уравнения неразрывности (12) относительно аффинных преобразований мы будем искать профили скоростей, удовлетворяющие гипотезе подобия
Предыдущая << 1 .. 58 59 60 61 62 63 < 64 > 65 66 67 68 69 70 .. 96 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed