Гидродинамика. Методы. Факты. Подобие - Биркгоф Г.
Скачать (прямая ссылка):
(1935); см. также [7], п. 277.
§ 86. Расходящиеся волны давления
173
как указано в [6], § 18. (Легко проверить, что и = df/dt есть скорость, d2f/dt2— субстанциональное ускорение и что правая часть представляет собой — др/рдх.)
Так как скорость и = df/dt, то автомодельность относительно преобразований (18) эквивалентна соотношению f(<ia, at) = = af(a,t) для всех а > 0 и, следовательно, соотношению f(a, at) = af(l, t) =ag(t). Полагая t = t/a, получим равенства:
jc=/(a, t) = a/(\, ^)=а*М, т=4’ (26')
Таким образом, равенства (26') служат выражением инвариантности относительно преобразований (18).
Подставив формулу (26') в уравнение (26), получим соотношение
0 = д-у'(т) {1 — ffcpT+Ч2}, (27)
так как прямой подсчет показывает, что d2f/da2 = t2g"(t/a)/а3. Итак, «центрированные» плоские волны, обладающие симметрией расширения (18), представляют собой решения обыкновенного дифференциального уравнения (27). (Парадокс Эрншоу утверждает, что таких решений, обладающих симметрией переноса, нет.) Уравнение (27) имеет два семейства решений. Если g" = 0, то f = a [Ci + C2(t/a)\ = С\а + С21. Это тривиальный случай, когда имеем равномерное течение с постоянными и и о. Во втором случае, l=f?pT+42, откуда следует соотношение
(4!гГ'=*'ч',=1Г*л (28)
Согласно формуле (26'), df/da = g(t/a) — (t/a)g'(t/a), и, следовательно, получаем условие в виде
g — = [т^х2]1/<7+1) (29)
если -j Ф —1. Это линейное неоднородное обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка легко проинтегрировать формально. Его общее решение имеет вид
?(т) = Ст + Лт2/<т+1>, (29')
где Л = [(т + 1)/(7 — 1)1 [7?)1/<т+1). а С произвольно при условии,
лишь если |-[| Ф 1. Если <[ = —1, то решения не существует, так
как тогда ввиду соотношения (28), t = const. Если = 1, то общее решение имеет вид g (т) = С* — х *п х-
Аналогично можно разобрать случаи центрированных цилиндрических и сферических волн. Для случая т + 1 измерений
174
Гл. V. Теория групп и гидромеханика
уравнения движения записываются в следующем виде:
д2г „ rv, ч д Г _ dr 1 _ дг /0_ч
— = rmF'(a)—[rm 0 = Г”Ж. (30)
Условие автомодельности относительно преобразований (18) эквивалентно следующим соотношениям, аналогичным формуле (26'):
r = bg(*), * = у. 6 = а1,;т+1>. (30')
Подставив соотношения (30') в уравнение (30), мы снова получим обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка, решения которого представляют собой цилиндрические и сферические волны.
Как и в § 84 и 85, можно получить волны, аналогичные описанным выше для общего уравнения состояния, не требуя условия политропности*).
§ 87. Политропная симметрия
В политропном случае р— ро — ?рт (ср. гл. IV, теорема 9), а уравнения сжимаемого невязкого баротропного течения обладают двухпараметрической группой симметрии. Она представляет собой подгруппу трехпараметрнческой группы преобразований:
Х-+ЯХ, U —> (<*/В) U,
* М, X (31)
р->°р» (р— Ро)-+ь (Р— Pat-
Политропное уравнение состояния и уравнение неразрывности dp/dt + div(pu) = 0 инвариантны относительно всякого преобразования вида (31). Уравнения движения (невязкой жидко-
сти) инвариантны относительно группы (31) тогда и только тогда, когда 8Т_1 = а2/(32. Отсюда, двухпараметрическая подгруппа группы (31), сохраняющая неизменными уравнения движения Эйлера, определяется условием 8 = (а/В)2/(1_1).
За исключением тривиального случая |3=1, во всякой однопараметрической подгруппе группы (31) справедливо равенство а = рт при некотором постоянном показателе Поэтому, если уравнения движения Эйлера инвариантны относительно такой подгруппы, то 8 = р2<*-1)«т-1), и мы получаем следующие соотношения:
х-*ртх, u-*pT-1u,
DAT-Dp, (/»-/»о)->Р2т(т-1№-1)(/»-/»о).
') Относительно материалов § 86 см. оригинальную литературу на русское языке [8*], [14*]. — Прим. ред.
§ Я8. Конические течения 175
Автомодельным течениям из § 84—86 соответствует выбор -с = 1, и тогда вторая строчка из соотношений (32) сводится к р —> р. так что соотношения (32) вырождаются в формулы (18).
Орбитами группы (32) (ее «множествами транзитивности») н системе координат пространство — время называются кривые, на которых постоянна величина % = х//т. Следовательно, невязкие сжимаемые течения, которые группа (32) переводит самих в себя, определяются соотношениями
«,-(х; t) = f ’/Их). р^ч ^-Мх), (33)
а также и зависимостью р—p0=--kp. Сделав подстановку в уравнения движения, получим необходимое и достаточное условие для того, чтобы течение было автомодельным относительно этой частной группы моделирования по числу Маха.
Важным примером такого течения является асимптотическое течение газов в результате взрыва в стволе орудия при сообщении ускорения снаряду постоянной массы1). Пользуясь переменными Лагранжа, можно исключить уравнение неразрывности. Кроме того, как и в первом примере из § 80, имеется особая «точка концентрации» начальной энергии при t — 0. Это соответствует случаю высокой концентрации взрывчатки в «длинноствольном» орудии; в данном случае можно предполагать, что течение адиабатично.
Указанный пример связан с примером чрезвычайно интенсивных сферических и цилиндрических взрывных волн, когда можно пренебречь давлением вне области взрыва2). В этом случае энтропия зависит от силы ударной волны н убывает со временем; чтобы сохранялась величина полной энергии, нужно положить ' = 2/5.
