Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Биркгоф Г. -> "Гидродинамика. Методы. Факты. Подобие" -> 65

Гидродинамика. Методы. Факты. Подобие - Биркгоф Г.

Биркгоф Г. Гидродинамика. Методы. Факты. Подобие — М.: Иностранная литература, 1963. — 246 c.
Скачать (прямая ссылка): gidrodinamikametodipodobie1963.pdf
Предыдущая << 1 .. 59 60 61 62 63 64 < 65 > 66 67 68 69 70 71 .. 96 >> Следующая

u = x-rf(ri), ^ = (16)
где у обозначает расстояние от оси х на плоскости или в про-
странстве. Для того чтобы уравнения (12) были инвариантны относительно преобразования (16), необходимо и достаточно, чтобы 2q = р + 1.
Мы опускаем выкладки2) однеко заметим, что в ходе вычислений подтверждается формула р = а(1'т)'2 = а« из группы
(14*) для рассмотренного в § 82 случая р = —т.
Для таго чтобы определить р, нужно также использовать закон сохранения полного количества движения струи, равно как закон сохранения количества движения следа, рассмотренный в § 57. На плоскости этот закон сохранения эквивалентен соот-
') См. Hart гее D. R.. Proc. Camb. Phi!. Soc., 33 (1937); 223—229; Goldstein S., там же, 35 (1939), 338 —341; Stewartson K-, там же, 50 (1954). 454 -465.
J) [I7]. стр. 271.
$ 84. Течения Прандтля—Мейера
167
ношению 2р = q, а в пространстве — соотношению р — q в пред* положении, что справедливо соотношение (16).
Решая предыдущие уравнения, мы получим для пространственного случая р = q = 1. Это весьма примечательно, так как полная система уравнений Навье — Стокса инвариантна относительно найденной частной группы подобия, что впервые было получено Яцеевым и Сквайром1). Уравнения Навье — Стокса в сферических координатах эквивалентны уравнению
/2 = 47/+2(1-т2)/'-2(с1Т2+с2т + Сз), t = _?=cos9> (17)
где Ci, с2, с3 — постоянные интегрирования. Кроме того, из естественных физических краевых условий следует, что ct = с2 =* = Сз = 0; в таком случае уравнение (17) можно легко проинтегрировать и получить следующий результат:
, —2sm*6— .
J a-f 1 — cos О I1' '
при произвольном а. Поведение этих решений «в большом» будет рассмотрено в § 89.
Аналогично можно рассмотреть ламинарные следы в вязкой жидкости, если и считать возмущением скорости свободного потока U, так чтобы U + и представляло собой локальную скорость. В этом случае, кроме гипотезы подобия (16), надо при-
влечь закон сохранения количества движения следа (§ 57), что
дает р = q = у для плоских следов и р = 1, q = ^ для следов
в пространстве. Можно также вычислить и профили скоростей по-прежнему в приближении ламинарного пограничного слоя.
Примерно таким же образом исследуются турбулентные струи и следы. Однако в настоящее время общепризнано, что допущения, использующие понятие «длины перемешивания», для подобия в турбулентном случае, принятые в опубликованных теоретических работах, весьма сомнительны (см. [17]. гл. XIV, § И).
§ 84. Течения Прандтля — Мейера
В качестве еще одного примера применения метода «поиска симметричных решений» в задачах континуальной физики мы перейдем теперь к установившимся безвихревым течениям сжимаемых невязких жидкостей. Дифференциальные уравнения
>) Я ц ее в В. Л., ЖЭТФ, 20 (1950), 1031-1034; Squire Н. В., QJMAM, 4 (1951), 321—329. Относительно краевых условий см. [17], стр. 278,
168
Гл. V. Теория групп и гидромеханика
таких течений инвариантны, как мы видели в § 73, относительно однопараметрической группы моделирования по числу Маха:
xt-*4xlt /-*<*/; р, р, и не изменяются. (18)
Следуя методу поиска симметричных решений, будем искать течения, инвариантные относительно группы (18); стационарные же течения будут инвариантны и относительно группы преобразований
/-W + T (18')
при неизменности всех прочих переменных.
При рассмотрении течений, инвариантных относительно преобразований (18) и (18'), удобно пользоваться полярными (г, 6) и сферическими (г, 0, ф) координатами. Пусть иг и щ —соответствующие радиальная и трансверсальная составляющие скорости. Мы рассмотрим лишь случай uf = 0, т. е. случай отсутствия циркуляции в стационарном (безвихревом) плоском и осесимметричном течении.
Допущение инвариантности относительно преобразований (18) и (18') означает для таких течений, что нижеследующие величины зависят только от угловой переменной (дополнения широты):
“r = g(e). И! = А(0), р = р(6),
Р=/( Р>. -?f=/'(P) = ca- (Ю)
Плоские течения, удовлетворяющие условиям (19), называются течениями Прандтля —Мейера-, в § 92 мы дадим их обобщение (см. там рис. 26). Пространственные течения, удовлетворяющие условиям (19), называются осесимметричными коническими течениями.
Предположение об отсутствии вихрей равносильно условию
ф ufdr-\-utrd6 = 0 для всех замкнутых кривых, откуда 0 =
= д(гиь)/дг — диг/дЪ = h — g', и мы получаем равенство
h = g‘- (20)
Так как течение безвихревое, то уравнения движения эквивалентны уравнению Бернулли, которое можно записать в виде
т“2 + /^ T=const’ (21)
или как дифференциальное уравнение
0 = и da + ±2- = g’ (g+g") + с2 (^).
(21')
§ 84. Течения Прандтля — Мейера
169
При политропном уравнении состояния р = ?рг + р0, c1 = -\kрт-1, и так как j dp!р —^трт_1/(т — 1) —с2/(т— l) + const, то, следовательно, в этих условиях получаем уравнение
y(g2 + g'J) + yzrT = c:onst==C. (21*)
Все сказанное до сих пор справедливо и для конических течений.
Для течений Прандтля — Мейера уравнение неразрывности div(pu) = 0 можно записать в виде
О = (ргиг) + (ры,) = риг + (ра,)' = р (и, 4- u'g) + р'и,-
Предыдущая << 1 .. 59 60 61 62 63 64 < 65 > 66 67 68 69 70 71 .. 96 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed