Гидродинамика. Методы. Факты. Подобие - Биркгоф Г.
Скачать (прямая ссылка):
r' = ar, t' = a?t, U' = amU. (2)
Так как “1 = 0, то эта подгруппа сохраняет следующее краевое условие U(oo,t) =0. Мы будем искать решения U(r,t) уравнения (1), инвариантные относительно подгрупп вида (2).
В рассматриваемом случае, ввиду того что группа (2) состоит из скалярных умножений, можно применить П-теорему. Переменные х = f2lt и U/tml2 инвариантны относительно преобразований (2). Поэтому, согласно П-теореме, всякое решение (I), инвариантное относительно преобразований (2), должно иметь вид
U = tmnm, x = r>lt. (3)
В § 89 мы покажем, что уравнение (1) всегда имеет решения симметричной формы (3) (автомодельные), по крайней мере локально.
Пока мы ограничимся исследованием одного частного случая. Подставляя соотношение (3) в уравнение (1) и деля на подходящую степень величины (, получаем уравнение
4*y/"-H2*ft + x)/'--f/=0. (4)
Переход к переменной | = г2/4х/ (которая безразмерна в обычном смысле, т. е. инвариантна относительно группы преобразований (22) из гл. IV) дает более простые выражения:
U = tml2F(r), где ^ + (* + i)^--YF=0- <4')
После подстановки х = —? последнее уравнение переходит в конфлуэнтное гипергеометрическое уравнение1). Однако не это главное; главное то, что решения уравнения (1) можно найти, интегрируя обыкновенное дифференциальное уравнение, что всегда можно проделать численно.
Не все «симметричные» решения уравнения (1) [т. е. (4)] представляют одинаковый физический интерес. Преимущественно интересны решения, для которых (/->0 при г-*- оо, так что
lim /(х) = 0.
') Камке Э., Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. изд. 2-е, М., Физматгиз, 1961, уравнение 2.113,
162
Гл. V. Теория групп и гидромеханика
Нас также интересует полное количество тепла, которое пропор-
СО
ционально интегралу J U(r, t)rn~ldr, а следовательно, и вели-
о
чине атал = ат+л, или
В частности, интересе» случай, когда полное количество тепла постоянно, что соответствует распространению ограниченного количества тепловой энергии из начала координат. Тогда m — = —л; если положить п = 2й, то уравнение (4') после приведения подобных членов сводится к виду
0 = |/?№ + (1-|-А)/ч + А/г=1(/ч+^ + А(/ч + П А = (4*)
Уравнение (4*) можно проинтегрировать в замкнутом виде. Чтобы получить U(oo, t) = 0, функции F и Fi должны стремиться к нулю при |->- + оо, и, следовательно, F(?) = е~*. Мы получили решение Лапласа
и=СГпГ2е-,щи. (5)
которое в большинстве учебников выводится с помощью преобразования Фурье.
Другой интересный случай — это случай точечного источника, выделяющего тепло (за счет химического или радиоактивного процесса) с постоянной скоростью начиная с момента / = 0. Здесь m + п = 2, т. е. m = 2 — п, вследствие чего уравнение (4') принимает вид
«/=Ц-ие+л)/ч+(1-л)/г=о, л=-? = -Ц-- •
Интегралы такого вида конфлуэнтного гипергеометрического уравнения (они были получены другим путем) могут быть выражены в замкнутом виде1). Однако это не столь важно, как то обстоятельство, что полученное дифференциальное уравнение является обыкновенным.
§ 81. Спиральные течения вязкой жидкости
Теперь мы проиллюстрируем метод «поиска симметричных решений» на классическом примере «спиральных течений» несжимаемой вязкой жидкости. Впервые окончательные формулы
’) См. С а г s 1 a w and Jaeger, «Conduction of Heat in Solids». Особенно прост случай n = 2, так как тогда (I -~h)= 0. [На русск яз. Карел о у, Теория теплопроводности, М.—Л., ГТТИ, 1947, — Прим. перев.]
§ 81. Спиральные течения вязкой жидкости
163
были получены Джеффри и Хамелем ‘). Наибольшее значение для приложении имеют частные случаи вырождения: радиальное течение в канале и круговое течение Куэтта. Все же мы рассмотрим общий случай, так как он представляет интерес с математической точки зрения.
Хорошо известно, что в случае плоских несжимаемых потоков уравнение неразрывности эквивалентно введению «функции тока» V = J(udy — vdx), так что (dV/dy, -~dV/dx) есть вектор
скорости. Тогда выражение —V2V = ди/дх— ди/ду дает завихренность. Кроме того, уравнения движения Навье — Стокса для таких плоских течений эквивалентны2) уравнению
где д(р, q)/d(x, у) = pxqv — qxpy — обычное обозначение якобиана, a v, как обычно, кинематическая вязкость ц/р.
Анализ размерностей показывает, что прн геометрически подобных условиях поведение несжимаемых вязких жидкостей зависит только от безразмерного параметра Re. Теперь мы будем искать автомодельные плоские течения для однопараметрнче-ских подгрупп группы подобия
Это значит, что мы будем рассматривать течения, инвариантные относительно некоторой спиральной подгруппы
где параметр с характеризует спираль.
Преобразования (7) переводят плоскость саму в себя. Так как р постоянно, формулы (7) дают автомодельное движение при постоянном числе Re тогда и только тогда, когда значения гит и ги>| в соответствующих точках одинаковы. Но дифференциалы значений функция тока У пропорциональны произведениям расстояний на скорости, так как dV = (dV/dx)dx + (dV/dy)dy. Поэтому дифференциалы У будут инвариантны относительно спиральной группы (7). Итак, при заданном в полярных коорди-
