Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Биркгоф Г. -> "Гидродинамика. Методы. Факты. Подобие" -> 66

Гидродинамика. Методы. Факты. Подобие - Биркгоф Г.

Биркгоф Г. Гидродинамика. Методы. Факты. Подобие — М.: Иностранная литература, 1963. — 246 c.
Скачать (прямая ссылка): gidrodinamikametodipodobie1963.pdf
Предыдущая << 1 .. 60 61 62 63 64 65 < 66 > 67 68 69 70 71 72 .. 96 >> Следующая

Использовав (19) и (20), мы получим уравнение
(?+g") + (^)g' = 0. (22)
Умножая уравнение (22) на g' и вычитая полученное уравнение из равенства (2Г), придем к результату
(c + g')(c-g')(^) = 0. (22')
Соотношения (22) и (22'), очевидно, эквивалентны уравнениям движения и неразрывности. Мы получаем, таким образом, два семейства решений.
Случай I. р'= 0. Тогда, согласно уравнению (22), получаем g" + g — 0, откуда ит = A cos (0 — а). Чтобы получить и9, мы используем формулы (19) и (20) и находим, что течение равномерное с постоянным вектором скорости.
Случай II. с2 = g'2, или с = ± g'. Мы видим, что радиусы 0 = const являются характеристиками в том смысле, что перпендикулярная к ним составляющая скорости всегда равна скорости звука с. Это так называемые волны разрежения Прандтля— Мейера1)-, они могут заполнять клиновидные области, плавно переходящие на границе в области равномерного течения. Мы часто видим такие области на фотографиях действительных течений; таким образом, предположение, что р = р(8), непосредственно подтверждается экспериментом.
В политропном случае, подставляя с2 = g'2 в уравнение (21*), мы сразу получаем дифференциальное уравнение
(7 + 1)?'2 + (7-1)?2 = 2(т-1)С. (23)
*) [69]; Meyer Т., VDJ Forschungsheft, 62 (1908), 31—67.
170
Гл. V. Теория групп и гидромеханика
Оно легко интегрируется в замкнутом виде, причем качественно характер решений в адиабатическом случае 4 > 1 совершенно отличен от характера решений при '1=1, при
— 1 < Т < 1 или при 1 = — 1 (круговое течение).
В общем (неполитропном) случае уравнение (22) и соотношение с = ±g' остаются справедливыми. В силу симметрии достаточно рассмотреть случай с — g'. С помощью уравнения (21) мы получаем сначала In р = ф(с) = <|i(g0> а затем уравнение
te + g/,) + gW(g,) = 0, (23')
которое интегрируется численно ([14], раздел 7.1). (Если §'$'(§') = —1> т0 имеется особенность.) Следовательно, волны разрежения Прандтля — Мейера математически возможны для общего вида уравнения состояния.
§ 85. Конические течения Тейлора — Маккола
В пространстве п измерений (физически, разумеется, представляет интерес случай п = 3) уравнение неразрывности для стационарных осесимметричных течений принимает вид
О = (рг"-1 cosn-20K,) + (ргя-2 cos"-2 6 мв) =
= ргя_2 (cosn_28w0)/ -J- [(« — 1) p ur -J- р'к3] rn~2 cos'1-2 0.
Разделив все члены уравнения на выражение prn_2cosn_20 и воспользовавшись соотношениями (19) и (20) (напомним, что уравнения (19) — (21') справедливы для пространственных течений), вместо уравнения (22) мы получим следующее уравнение:
(п— \)g — (a — 2)g'tg0+gw + g'(^-) =0. (24)
Уравнение (21') в данном случае все еще справедливо, оно эквивалентно уравнению (21*) в политропном случае, и учитывая уравнения (21) и (21*), мы получаем соотношение
(?)¦--[i+ *-)¦-С|" •
Подставив это соотношение в уравнение (24), которое можно записать в виде
(в"+* Ж« - 2) (- «' tg е+я)+g' (¦?)=о, (240
172
Гл. V. Теория групп и гидромеханика
предсказывает существование течения с «отошедшей ударной волной».
Подобные течения будут рассмотрены в § 88. Здесь достаточно отметить, что теоретически вычисленные границы конического режима, давление на коническую головку и угол присоединенной ударной волны (как функции числа Маха и угла при вершине конуса) ненамного отличаются от экспериментальных данных.
§ 86. Расходящиеся волны давления
Существуют также важные семейства нестационарных течений, обладающие внутренней симметрией (18). Из таких семейств особенно заслуживают упоминания расходящиеся волны— плоские, цилиндрические и сферические. Плоские расходящиеся волны возникают, например, когда в ударной трубе рвется диафрагма в области позади слоя взрывчатки, взорванного с одной из сторон, или позади поршня, который мгновенно начинает двигаться с постоянной скоростью в бесконечно длинном цилиндре1)- Сферические волны возникают при равномерном расширении сферы.
Интересно отметить, что с расходящимися волнами давления связано одно из первых сознательных применении метода поиска симметричных решений2). Мы рассмотрим их лишь с математической точки зрения.
Здесь удобнее перейти к переменным Лагранжа. Обозначим через а массу, определяемую путем интегрирования от какой-либо фиксированной материальной точки (например, от стационарного центра симметрии). Для плоских волн, если определять положение координатой x = f(a, /) и обозначать плотность через р = р(a, t), уравнение неразрывности эквивалентно соотношению а = df/da между удельным объемом о = 1/р, величиной х и массой а. Поэтому допустимые для данного уравнения состояния р = ро — F(a) = ро + ?рт течения соответствуют решениям уравнений движения. Последние сводятся к уравнению
— — (МЛ''1'1 d'f
dt* ~F да* ~ Т Ua ) ~да* ’
') По поводу расходящихся плоских волн («центрированные волны разрежения») см. [6], § 46. О волнах давления, возникающих при расширении сферы, см. Taylor G. I., Proc. Roy. Soc., A 186 (1946), 273—292.
s) Cm. [62], [72] и [74]. О них идет речь и в [57], гл. IV. В [57], гл. II, § 13, приводится ссылка на более раннюю работу об автомодельных гравитационных волнах Н. Е. Кочина, Труды Мат. Института им. Стеклова, 9
Предыдущая << 1 .. 60 61 62 63 64 65 < 66 > 67 68 69 70 71 72 .. 96 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed