Гидродинамика. Методы. Факты. Подобие - Биркгоф Г.
Скачать (прямая ссылка):
Как и в § 3, уравнения состояния и неразрывности для несжимаемого течения, взятые вместе, эквивалентны одному условию divu = 0. Так как g и Л не обращаются в нуль, то это равносильно равенству
из которого исключено t.
Остается рассмотреть уравнения движения Навье —Стокса. По теореме I из § 21 силой тяжести можно пренебречь. С учетом этого и после непосредственной подстановки условия (48) в уравнения Навье — Стокса из гл. II, формула (3), мы получим соотношения:
U—(x; /) = у<р(х),
(49)
§ 91. Случай вязкой жидкости
(48).
(50)
') Annali di Mat., 29 (1949), 247—249; см. также [171 стр. 248.
184
Гл. V. Теория групп и гидромеханика
Следовательно, дифференциальные уравнения Навье — Стокса можно записать, разделив переменные, в виде
Очевидно, что условие (51) эквивалентно требованию, чтобы векторы F = (Fь F2, F3, Fit Fs) и О — (G,, G2, G3, G4, Gs) принадлежали взаимно ортогональным подпространствам. В зависимости от числа линейно независимых соотношений, которым удовлетворяет G), «Р-подпространство>, натянутое на векторы Fit может, как видим, иметь 1, 2, 3 н 4 измерения. Сначала мы рассмотрим тот невырожденный случай, когда все F) пропорциональны, так что сР-подпространство> имеет одно измерение.
Мы можем сделать Ft пропорциональным F3, положив а = ag*. Как и раньше, наличие равенства g = h (постоянные множители можно опустить) эквивалентно пропорциональности F1 и F3. Остается еще условие, что Ft должно быть пропорционально Fs или должно выполняться равенство g' = (—Р/2)g2k для некоторой постоянной р. Так как g = А, то это условие равносильно тому, что —2g'/g3 = р, или \/g* = p(t — t0). Надлежащим выбором начала координат и шкалы времени последнее условие можно свести к g = 1/ V t и. следовательно, к условиям
Итак, в поисках более общего типа симметричных решений мы снова снизили число независимых переменных на единицу! Рассматривать соотношения (52') сами по себе здесь мы не будем ¦).
•) На плоскости условие (50) эквивалентно существованию функции тока, а >з соотношения (5х) можно исклюпить р, используя rot (grad р) — 0. При •том уравнение четвертого порядка в частных производных (6) не изменяется.
5
(51)
где
и
Fx=g', Ft — gh'lh, Fi = g2h, FA = ah, Fs=gk2
§ 92. Обратные методы
tss
Это соответствует инвариантности уравнений Навье —Стокса относительно преобразования t-*~nt и х-»-рх при условии, что число Рейнольдса Re = «yrf/v ~ (р/«) р, [v = const] не изменяется, так что р ~ Vл. Решения (52) — в точности те течения, которые инвариантны относительно этой группы.
Уравнение (51) имеет также «вырожденные» решения. Например, рассмотрим течения, параллельные оси х, тогда можно записать равенства:
Ui = g(t)A(y, г), и2 = и3=р = 0. (53)
В этом случае условие (50) всегда удовлетворяется. Так как Л=1, то = 0; из р = 0 следует Ft = 0. Большое значение
имеет то, что Ga = fidujdx = 0 при всех г, поэтому для F3 нет
ограничений. Остается удовлетворить условию g7i = \g(difl/dyt+ + diflldz3), которое, поскольку g зависит от t, a f\ зависит от х = (у, z), сводится к равенству g'/g = —А и соотношению
«1 = e""/i <У> г), где ^ -f = — vA/j. (53')
Последнее соотношение определяет хорошо известное1) экс-
поненциальное затухание параллельных вязких течений, например, течения в двумерном канале—а<у<а npH«i=e_*,cos«y/2a и k = ic274a2v.
§ 92. Обратные методы
Предыдущие примеры характеризуют метод «разделения переменных» как обобщение «метода поиска симметричных решений». В свою очередь метод разделения переменных представляет собой частный случай более широкого класса «обратных методов», систематически изученных П. Неменьи2). Положение в этом вопросе нестрого можно описать следующим образом. Всякий раз, когда теория групп указывает на существование течений с разделенными переменными или течений, обладающих каким-либо другим свойством Р, априорно постулируя свойство Р, мы получим по меньшей мере те же решения, но, возможно, и какие-либо другие.
‘) См. Taylor G. I., Phil. Mag., 46 (1923), 671—674. Аналогичное экспоненциальное затухание возможно н для круговых течений, когда р'(г) достаточно велико для создания центростремительного ускорения; ср. [71] я В е г к е г R., Sur quelques cas d’lnt6gration des equations du mouvement d’un fluide visqueux incompressible, Lille, 1936.
*) Неменьи П. Ф., сб. Проблемы механики, ИЛ, М., 1955, стр. 234—257. [См. также [44]. — Прим. ред.]
186
Гл. V. Теория групп и гидромеханика
Например, согласно теории групп, существуют (локально) волны расширения Прандтля — Мейера, для которых
Векторная скорость постоянна вдоль всякой прямой некоторого pi однопараметрического семейства. 1
«Обратный метод» состоит в нахождении всех стационарных безвихревых течений сжимаемой невязкой жидкости, обладающих свойством Р1. Это получается следующим образом.
Мы знаем (§ 5), что уравнения движения в случае стационарного безвихревого потока эквивалентны уравнению Бернулли
ы2/2 + Jdp/p = С. Поэтому с помощью численного интегрирования для каждого значения «давления торможения» (т. е. постоянной интегрирования) получим одну и только одну пару функций р(и) и р[р(ы)], удовлетворяющих как уравнению состояния, так и уравнениям движения. Кроме того, течения со свойством Р1 —это течения, у которых такие р(и) и р[р(и)],
