Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Биркгоф Г. -> "Гидродинамика. Методы. Факты. Подобие" -> 62

Гидродинамика. Методы. Факты. Подобие - Биркгоф Г.

Биркгоф Г. Гидродинамика. Методы. Факты. Подобие — М.: Иностранная литература, 1963. — 246 c.
Скачать (прямая ссылка): gidrodinamikametodipodobie1963.pdf
Предыдущая << 1 .. 56 57 58 59 60 61 < 62 > 63 64 65 66 67 68 .. 96 >> Следующая

Использование параметра N в качестве необходимого критерия доказывают следующие опытные данные. Согласно экспериментам время 7Y.c„ необходимое для глубинного смыкания, в грубом приближении пропорционально величине VL/g. С другой стороны, установлено (например, с помощью инспекционного анализа инерциального механизма поверхностного смыкания), что продолжительность Тпс. поверхностного смыкания пропорциональна pL/p'V, где L — характерная длина, а V — характерная скорость. Поэтому для поверхностного смыкания условие Гг.с. > принимает вид N > \’кр..
При обычном использовании анализа размерностей мы пришли бы к выводу, что средние разности давлений, вызывающие поверхностное и глубинное смыкание, должны быть пропорциональны соответственно величинам p'V2l2 и 2рgL, а это привело бы к предложению использовать безразмерное отношение N' = = Fr р'/р в качестве критерия поверхностного смыкания. Последнее резко расходится с наблюдениями.
Глава V
ТЕОРИЯ ГРУПП И ГИДРОМЕХАНИКА
§ 79. Введение
В гл. IV было показано, что понятие группы ценно для гидромеханики в трех отношениях. Во-первых, это понятие помогает математически обосновать моделирование с помощью инспекционного анализа, который более соответствует сути дела, чем обычно применяемый анализ размерностей. Во-вторых, с помощью понятня группы можно проверять справедливость математических теорий гидромеханики даже в тех случаях, когда невозможно проинтегрировать теоретически выведенные уравнения в частных производных. И наконец, как и анализ размерностей (но более общим образом), оно часто дает средство снизить число подлежащих рассмотрению параметров; тем самым понятие группы вносит значительные упрощения.
Теперь мы обсудим возможности применения этого понятия к интегрированию дифференциальных уравнений гидромеханики и, конечно, уравнений математической физики вообще. Большая часть того, что мы намерены высказать в связи с этим, в том или ином виде уже имеется в других работах. Но если, как мы полагаем, применение понятия группы в теории дифференциальных уравнений только начинается, то, по-видимому, целесообразно свести воедино относящиеся к этому вопросу соображения.
Сначала мы опишем то, что можно назвать методом поиска симметричных решений уравнений в частных производных. Предположим, что система уравнений в частных производных 2 инвариантна над группой G, элементам» которой являются входящие в систему зависимые и независимые переменные. Метод состоит в отыскании решения, инвариантного над некоторой подгруппой группы G. Другими словами, он состоит в отыскании автомодельных решений, обладающих внутренней симметрией относительно G.
Этот метод так часто применялся при решении отдельных физических задач, что удивительно, почему он не был более
160
Гл. К Теория групп и гидромеханика
отчетливо сформулирован гораздо раньше1). Мы покажем сейчас его эффективность на нескольких частных примерах.
§ 80. Симметричные решения уравнения теплопроводности
Метод «поиска симметричных решений» применим к континуальной физике вообще. Совсем просто его применение к уравнению диффузии; и это мы рассмотрим прежде всего. Для плоско-параллельного течения уравнения Навье — Стокса сводятся к уравнению диффузии2), но наиболее известно применение уравнения диффузии в теории теплопроводности. Ввиду того что переносу тепла и переносу количества движения в вязкой жидкости соответствует одна и та же группа симметрии, в некоторых задачах, относящихся и к теплопроводности и к конвекции, можно применять аналогичные рассуждения. Например, можно рассматривать задачи с изменением фазы на подвижных границах (задача Стефана) или задачи о росте сферических пузырьков пара в равномерно перегретой воде.
Итак, рассмотрим диффузию тепла из точечного источника в среде с постоянной теплопроводностью к. Уравнение теплопроводности для твердых тел имеет вид
П
= = (я= 1, 2 или 3), (1)
1-1 1
где U — температура в точке х = (хи ..., хп) в момент времени t.
Ввиду сферической симметрии задачи будем искать решение
П
вида U(r,t), где г2= 2 Этим исчерпывается использование
1-1
в задаче чисто геометрической симметрии явления. Но тут еще имеется физическая симметрия в том смысле, что дифференциальное уравнение (1) инвариантно относительно группы преобразований пространства, времени и температуры
f — чг, t' = a*t, U' = $U-И» О*)
зависящей от трех произвольных параметров а, |3, 7. Этой группой обобщается классический закон времени, согласно которому
') Впервые он был высказан Бехертом [62]. Более полная формулировка была дана Л. И. Седовым [72] и [57], гл. IV, § 1; см. также К. П. Станюкович [73] и [74].
2) [7]. п. 345—347. Результаты этого параграфа были опубликованы в [63], прежде чем нам стало известно о работах, названных в примечании I. Относительно применения к исследованию роста пузырьков пара см. Birkhof f G., Horning W. A„ M a г g u 1 i e s R., Physics of Fluids, I (1958), 201—204.
$ 80. Симметричные решения уравнения теплопроводности 161
время, требующееся для распространения тепла, пропорционально квадрату расстояния. При любом положительном числе m трехпараметрическая группа (1*) содержит однопараметрическую подгруппу, определяемую соотношениями
Предыдущая << 1 .. 56 57 58 59 60 61 < 62 > 63 64 65 66 67 68 .. 96 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed