Гидродинамика. Методы. Факты. Подобие - Биркгоф Г.
Скачать (прямая ссылка):
§ 94. Метод годографа
189
было бы преувеличением. Несмотря на то что решение1) Кармана уравнений Навье — Стокса для течения вблизи вращающегося диска не изменяется при аффинном преобразовании
г-+аг, и,->аи,, ив->аа8, uz-+uz,
уравнения Навье — Стокса не инвариантны относительно этого преобразования.
Аналогично «обратные» допущения относительно постоянства величины скорости или завихренности на линиях тока и т. д. не имеют никакого отношения к группам2). Было бы желательно определить, как это сделано для уравнений Лапласа и Гельмгольца (см. прим. 2) на стр. 188), все системы координат, в которых решения уравнений нестационарного движения жидкостей можно найти методом разделения переменных.
§ 94. Метод годографа
С помощью преобразований годографа можно значительно упростить уравнения сжимаемого невязкого течения. Мы уже видели [гл. I, уравнение (10)], что стационарные безвихревые плоские течения сжимаемой невязкой жидкости взаимно однозначно соответствуют потенциалам скоростей U, которые удовлетворяют нелинейному уравнению в частных производных:
VU = ±g {UxUxUxx+2UxUyUxy + UyUyUyy}. (56)
Здесь индексы означают дифференцирование по соответствующим переменным, а с2 есть местная скорость звука.
Напомним3), что уравнение (56) эквивалентно одному из следующих линейных уравнений в частных производных: либо уравнению
q*V„ + Я (l + ?) V, + (l - ?) V* = 0, (57а)
либо уравнению
Я\ч + Я (l - ?) V+ (l - -?) <Ре. = о. (576)
Здесь V—функция тока; яе'*—комплексный вектор скорости, так что их = Я cos 9 и {/„ = <7 sin 9; с1 — однозначная функция
') Karman Th., ZAMM, I (1921), 233—252; Batchelor G., Quar. J. Math. Appl. Mech., 4 (1951), 29—41. По поводу дальнейших обобщений см. Berker R., работу, цитир. в прим. 1) па стр. 185.
г) Кашрё de Feriet J., Ргос. Int. Math. Congress, Zurich (1932), T. 2. 298—299; Nemenyi P., Prim R., J. Math. Phis. MIT, 27, (1948), 130 135.
3) Cm. [6], гл. 1VA или Seifert H., Math. Annalen, 120 (1947), 75—12&
190 Г л. V’. Теория групп и гидромеханика
переменной q, согласно уравнению Бернулли, и у = U — xUx— —yUu — зависимая переменная в лежандровом контактном преобразовании, посредством которого получено уравнение (576).
Теперь нетрудно получить уравнения (57а) и (576), исходя из уравнения (56) и только что указанных определении, но вовсе не ясно, почему нужно было использовать эти переменные годографы, чтобы получить линейные уравнения. Одним из мотивов могло быть то соображение, что метод годографа успешно применяется в задачах сосвободными линиями тока (как в § 38). Сейчас мы приведем другую мотивировку, использующую три соображения из теории групп.
Первым из них является инвариантность законов динамики невязкой жидкости относительно группы (18) преобразований Ланжевена:
х-+>х, u->u, U->).U, V-*-i.V,
Оказывается, что уравнение в частных производных, выражающее эти законы, как правило, должно быть неоднородным (и поэтому нелинейным), если в качестве независимых переменных брать дг,-, а в качестве зависимых переменных — U, V или ф; но это уравнение будет однородным, если принять за независимые переменные1) Ы(, а в качестве зависимых переменных U, V или ф.
Нам остается не ясным a priori, почему это однородное уравнение должно быть линейным, когда в качестве зависимых переменных взяты V и ф.
Второе соображение из теории групп — очевидная инвариантность законов движения жидкости относительно группы поворотов б-»-б + а, когда q, U, У, ф остаются фиксированными. Из этого следует, что в формулах (57а) и (576) величина б должна входить только в дифференциальные операторы и не входить в коэффициенты. Следовательно, мы имеем теоретико-групповое оправдание использования в качестве независимых переменных q и б2) вместо и = Ux и v = Uv. Благодаря этому коэффициенты нашего дифференциального уравнения зависят только от одной из двух независимых переменных.
Третье теоретико-групповое соображение — это очевидная инвариантность законов движения жидкости относительно груп-
‘) Это возможно в малом, кроме случая (упомянутого в § 92) одномерного годографа. По причинам, аналогичным описанным в § 89, пообще говоря, это невозможно в большом.
*) Использование переменной ю = In q вместо q подсказывается теорией функций комплексного переменного: w + /0 — In (u + iv).
§ 95. Инерциальное плоское движение
191
пы переноса х-^х + а, когда и, U, V, <р остаются фиксированными (§ 67). Это эквивалентно тому, что х и у в уравнении (56) входят лишь в дифференциальные операторы и не содержатся в коэффициентах.
§ 95. Инерциальное плоское движение
Теорию групп можно использовать не только для упрощения уравнений движения жидкости, с ее помощью можно также приводить интегрирование уравнений движения к квадратурам1). Важное подтверждение этого положения дает движение снаряда в плоскости под действием только инерциальных сил. (Приблизительно такой характер имеет движение во многих задачах баллистики, а также движение подводной лодки при фиксированной установке рулей, когда гидростатическая плавучесть уравновешивает силу тяжести.) Это значит, что мы будем рассматривать группу из § 70.
