Гидродинамика. Методы. Факты. Подобие - Биркгоф Г.
Скачать (прямая ссылка):
Пусть х = qt и и = </2 обозначают координаты снаряда, а ф = </з — угол между осью .V и некоторой осью, жестко связанной со снарядом. Мы предполагаем, что координаты мгновенного положения снаряда определяют его будущее движение под действием сил реакции и согласно законам Ньютона, так что (при обычных ограничениях относительно дифференцируемости) получим уравнения:
<7/= ^(<7к <7г. <7з) = Ft (q: Ч)- (58)
Это, очевидно, система обыкновенных, вообще говоря, нелинейных дифференциальных уравнений шестого порядка.
Мы сейчас покажем, как с помощью теории групп ее можно свести к системе второго порядка и четырем квадратурам. Метод, который мы опишем, в основном обобщает обычный метод «циклических координат» прн переходе от лагранжевых динамических систем к нелагранжевым системам. После того как будет описан этот переход, мы укажем схему дальнейшего обобщения — на случай обыкновенных дифференциальных уравнений, инвариантных относительно некоторой группы.
Прежде всего можно ожидать, что система (58) будет инвариантна относительно переноса пространственных координат х ->• х -j- xQ, у -*¦ у + у0г). Это обстоятельство очень просто иитер-
') Строгое современное математическое исследование этой ставшей классической связи с теорией групп в случае обыкновенных однородных линейных дифференциальных уравнений см. в работе К о 1 с h 1 n Е. R., Annals of Math. 49 (1958), 1—42. Относительно нелинейного случая, см. Dickson [68].
J) Практически это означает, что можно пренебречь такими факторами, как изменение плотностн с высотой.
192
Г л. V. Теория групп и гидромеханика
претпровать математически: оно позволяет нам заменить систему (58) системой четвертого порядка:
= (Я* Ч)> -^г ¦= Ч).
4г=^* = Ч) (59)
и двумя квадратурами
Ч\ = J Я\ dt, <7г = / Яг dt. (59')
Таким образом, с помощью двухпараметрической группы можно снизить порядок нашей системы на две единицы, заменив интегрирование уравнений квадратурами. Далее, система (58) изотропна, т. е. инвариантна относительно поворотов координатной системы. Чтобы выразить этот факт аналитически, удобно в качестве новых переменных использовать модуль скорости v = (х2 + уг)'Ь и угол наклона 0 траектории к оси л:. Тогда х = v cos 0 и у — v sin 0. Очевидно, что v и «угол тангажа» Ф = ф— б инвариантны относительно вращений; поэтому система (59) эквивалентна1) (если она изотропна) системе:
^L = Gl(v, ср, <р), -^7 — 02(v, 9,. <р),
(60)
d<? d<? п . •. ' ’
~м=ъ ЧГ^0^’ ь ?)»
у которой второе уравнение сводится к квадратуре <р = J <?dt.
Наконец, предположение, что все силы «инерциальны», означает, что они пропорциональны квадрату скорости, т. е. геометрические траектории инвариантны относительно группы изменений масштаба времени. Но очевидно, что ф и расстояние
s= J*vdt инвариантны относительно этой группы. Отсюда, заменив t независимой переменной s, получим уравнение
ЧГ=Н^ ?')» *')• <61)
(Например, mvdv/ds есть касательная составляющая силы; она равна произведению а2 на силу mGi(v/v,<p,<p/v) = mGi(l, ф, ©') = = Н* (ф, ф'), которая действовала бы на снаряд, если бы все скорости были изменены в отношении v : 1.) В итоге система
') Строго говоря, пока v не обращается в нуль.
§ 96. Теорема Бьянки
193
(58) эквивалента системе второго порядка (61), пяти квадратурам: (59') и следующим соотношениям
f я» its г ds г •
v = vtfi , i = j —, <f = j ydt. (62)
§ 96. Теорема Бьянки
Предыдущее рассуждение можно существенно обобщить. Пусть 2 — любая система обыкновенных дифференциальных уравнений п-го порядка:
^Г = Ъ(Х !.•••>¦*„)> [/ = 1.п\. (63)
Предположим, что 2 инвариантна относительно группы Г преобразований х-*у(х) в пространстве (*i........хп). Это значит,
что если функция x(t) удовлетворяет системе (63), то ей удовлетворяет и преобразованная функция Y(x(f)) при всех Y (; Г Мы покажем, что это обстоятельство значительно облегчает интегрирование системы (63).
Это легко показать, если Г — однопараметрическая группа. В данном случае, за исключением окрестностей особых точек, группа Г локально сводится ‘) посредством замены координат к группе переносов у\-w/i + а\ у2,. .., уп без изменений. Система (63) запишется в этих координатах в виде dyjdt = G,(yb ..., уп). Так как вычитание постоянной из у\ не изменяет ни одной из производных dyildt, то, очевидно, G,- фактически не зависят от yi, поэтому можно записать уравнение
-^Г =°/(Уа» • • •> У»)> \i=\,...,n\. (64)
Таким образом, мы сведем интегрирование системы (63) к интегрированию системы (п—1)-го порядка dyj/dt = Gj(y2,...,y,,),
[j = 2....п] и одной квадратуре у, = J G, (у2(Л, • • •, у„(0)dt.
Обобщая сказанное, отметим следующее: пусть Г — любая r-параметрическая разрешимая группа Ли преобразований пространства (*i,.. ., *„), относительно которой инвариантна система (63). Тогда, почти по определению, группа Г имеет локальные2) подгруппы Ли Si < S2 <... < Sr = Г, такие, что
1) S,-_i нормальна в S,; 2) S; порождается подгруппой S,_i и некоторой однопараметрнческой подгруппой 1\.
‘) См. [78], стр. 34. Вообще мы здесь не даем подробных указаний относительно используемых результатов теории групп Ли.
