Гидродинамика. Методы. Факты. Подобие - Биркгоф Г.
Скачать (прямая ссылка):
Поскольку сформулированные выше условия определяют корректно поставленную краевую задачу (задачу Неймана, см. § 4) для стационарного течения при заданном ра, отсюда вытекает следствие.
Следствие. Если справедливы уравнения Эйлера для безвихревого несжимаемого течения, то измеренное значение CD не должно зависеть от размеров, скорости движения и плотности жидкости.
Фактически, ввиду парадокса Даламбера, этот результат ме-аее интересен сам по себе, а интересен в качестве иллюстрации важного метода. Однако приведенные рассуждения равным образом применимы к течениям Жуковского (§ 8), к «следам»1) Кирхгофа (§ 39), к течениям Гельмгольца — Бриллюэна (§ 47) и к теории вихревых дорожек Кармана (§ 56). Принцип инерциального моделирования справедлив также для примитивной ньютоновой кинетической теории сопротивления воздуха и для квазиэмпирической формулы Эйлера, выражающей лобовое
*) То есть к кавернам. Заметим, что, поскольку теория течений Эйлера
• Жуковского обратимы, в преобразованиях (22) можно рассматривать даже «<0.
142
Гл. IV. Моделирование и анализ размерностей
сопротивление и подъемную силу в виде определенных интегралов ').
Если применить теорему 5 к ускоренному движению, возникающему из начального состояния покоя, то получим, что коэффициент присоединенной массы k, выражающийся отношением2) ^ Присоединенная масса
Масса перемещенной жидкости
определяется формой рассматриваемого тела и не зависит от его размеров, от изменения ускорения и от плотности жидкости.
Экспериментально проверено, что принцип инерциального моделирования приближенно справедлив при режимах, соответствующих широкому диапазону изменений Re. Однако он сразу перестает быть справедливым, когда появляются перемежающиеся вихри и турбулентность в пограничном слое (например, вблизи 1/Re —0,02 и 0,00005, см. § 28).
§ 71. Моделирование по числу Рейнольдса
Гораздо большее значение имеет применение метода инспекционного анализа к уравнениям для несжимаемых вязких жидкостей. В этом случае, в силу теоремы 2 из § 21, получается следующая теорема.
Теорема 6. Если уравнения Навье — Стокса для несжимаемой вязкой жидкости вместе с условиями несжимаемости и прилипания на стенках приближенно определяют независящее от времени (статистически) течение жидкости, то справедливо соотношение (8).
Действительно, соотношение (8) весьма убедительным образом было подтверждено экспериментально для самых разнообразных жидкостей и газов3). Как показано на рис. 8, разрушение течения Пуазейля в трубах для воздуха, воды и многих других жидкостей наступает при одном и том же числе Рейнольдса. При числах Маха, меньших М = 0,3, коэффициенты
') Эти теории подробно рассмотрены в книгах Painlevfe P., Lecons sur la resistance des fluides, Paris, 1930 и С г a n z [5], гл. II.
s) Присоединенная м.асса тела в жидкости (гл. VI) —это разность между его инертной массой в жидкости и в вакууме.
s) См. § 25 и приведенные там ссылки на литературу, а также [54], стр. 16—17. Теорию разработал Стокс, [13], т. 3, стр. 17. Так как турбулентные движения обычных жидкостей и газов динамически подобны, по-видимому, маловероятно, чтобы турбулентность можно было связать с кинетической теорией иначе, чем косвенным образом — через вязкость. Подобным же образом были исследованы масла—Boswall R. О., В г i е г 1 у J. С., Proc. Inst. Mech. Eng., 122 (1932), 423—569.
§ 72. Моделирование по числу Фруда
143
лобового сопротивления сфер и цилиндров удовлетворяют соотношению (8) при одном и том же значении /Сх>(Re) для всех жидкостей и при всех размерах и скоростях. Соответствующий результат справедлив для поверхностного трения пластинок, параллельных направлению потока.
При опытной проверке этих результатов необходимо соблюдать следующие две предосторожности, иначе не обеспечивается моделирование по числу Рейнольдса. Во-первых, нужно пользоваться моделями с аналогичной шероховатостью поверхностей. Это существенно влияет на появление турбулентного течения и на переход в пограничном слое от ламинарного течения к турбулентному. Так, вблизи Ивкр. можно намного уменьшить лобовое сопротивление сферы, увеличив должным образом шероховатость ее поверхности.
Во-вторых, турбулентность свободного потока должна оставаться той же самой1), особенно в аэродинамических трубах с замкнутым контуром. Найдено, что величина ReKp. для сфер в аэродинамических трубах может увеличиваться в 2 раза в зависимости от турбулентности в трубе. Практическое решение этой проблемы будет описано в § 75.
Моделирование при больших числах Рейнольдса в малом масштабе для больших скоростей в потоке — весьма нелегкая задача. Если использовать данную жидкость (воздух или воду) при атмосферных условиях, то всякое уменьшение диаметра модели должно компенсироваться увеличением в том же отношении скорости. В случае воздуха вязкость v можно уменьшить, используя сжатый воздух, чтобы компенсировать уменьшение масштаба длин (ср. конец § 73 и § 75). К сожалению, мы не знаем ни одной жидкости, у которой значение v было бы намного меньше, чем у воды, хотя многие жидкости имеют значительно большее значение v. Поэтому только аэродинамические трубы2) дают экономичные модели по числу Рейнольдса при моделировании течений воды.
