Гидродинамика. Методы. Факты. Подобие - Биркгоф Г.
Скачать (прямая ссылка):
для всех положительных и отрицательных целых m следующее равенство:
/(<Л 1.......1) = Х-/(1, 1......1). (19')
Отсюда, полагая ql = 2",a. o = Vr2~ и /(1,..., 1)=С, получаем выражения
/(?,. 1.....1) = CX" и/(2, 1.........1) = СХ\
Положим а = log-2[/(2, 1, ..., 1)//(1, 1.......1)] = п log2 А,, так что
А,*" = 2та/п; после подстановок получаем соотношение
/(2m,n, 1....1) - С2та,п = С (2тТ- (20)
') См. [23], стр. 21. Уравнение (19), очевидно, показывает, что отношения однородных величин инвариантны относительно замены основных еднннц. Предположение, что qt положительны, хотя и не упоминается, но также необходимо в доказательстве Бриджмена, поскольку он имеет дело
с J* dqi/qi. И, действительно, отрицательные величины а< обычно не имеют
никакого физического смысла. Эти результаты распространил с дифференцируемых на непрерывные функции Martinot-Lagarde A, Comptes Rendus, 223 (1946), 136-137.
f 65. Независимы ли физические законы от выбора единиц? 133
Но степени двойки с рациональными показателями образуют всюду плотное множество положительных действительных чисел. Следовательно, если f фактически непрерывна, если f не является неизмеримой и не является всюду разрывной функцией1), то для всех положительных qi получаем равбйство
ПЯи I.....1) - С</’.
Повторив рассуждение для других индексов, мы приходим к утверждению теоремы3).
| 65. Независимы ли физические законы от выбора единиц?
В § 61 мы рассматривали свойство независимости соотношений от выбора единиц как математическую гипотезу. Относи* тельио ее физической применимости велись жаркие споры. Так, некоторые авторы позволяли себе истолковывать тот правдоподобный принцип, что «все единицы измерения3) пригодны», как приводящий к выводу, что при всех таких единицах получаются один и те же универсальные физические законы. Так, Толмэи4) в 1914 г. утверждал: «основные сущности, из которых ностроена физическая вселенная, таковы, что из них можно построить миниатюрную вселенную, в точности подобную... нашей вселенной».
Легко видеть, что такой вывод не является логически необходимым, если вспомнить, что в некотором смысле все пространственно-временные системы координат равновозможны. Но геоцентрическая система, подобная той, что используется в астрономии Птолемея, не приводит к тем же физическим законам, что и гелиоцентрическая система.
Кроме того, такое истолкование неверно даже для единиц длины, массы и времени в механике5). Действительно, основное положение специальной теории относительности состоит в том,
’) Относительно контрпримеров всюду разрывных функций см. Наш-mel G., Math. Annalen, 60 (1905), 459—462. С помощью логарифмического преобразования уравнение (19) сводится к известному аддитивному функциональному уравнению. Легко показать, что, в силу уравнения (19), если функция / разрывна в одной точке, то она должна быть всюду разрывной. Относительно неизмеримости f см. В а п а с h S., Thtorle des Operations Untaires, Warsaw, 1933, стр. 23.
*) Простое доказательство этой теоремы для дифференцируемых функций см. в [57]. — Прим. ред.
') Относительно значения шкалы измерений см. Campbell N., Measurement and Calculation, 1928. Строго говоря, следует различать шкалы перечисления, порядковые шкалы, шкалы, в которых можно установить равенство разностей значений, и истинные линейные шкалы с нулем.
*) Tolman R. С., Pkys. Rev., S (1914), 244—255.
*) Конечно, можно сохранить предположение IV следующим образом: сотать, ко определению, основной единицей такую единицу измерения, дл* ¦onpol справедливо предположение IV; »то может даже оказаться полезным.
134
Гл. IV. Моделирование и анализ размерностей
что законы механики, одним из которых является основной закон силы
г- d (т0м/У 1 — и*/с* ) /nt4
г— • (21)
не являются независимыми от выбора единиц измерения длины и времени в отдельности, так как в них входит скорость света').
В квантовой механике постоянная Планка А входит в формулу де-Бройля для длины волны частицы Я = А/my и в фотоэлектрическое уравнение Е = Av; это еще более подчеркивает то обстоятельство, что не все физические законы однородны по размерности. Здесь А— универсальная постоянная, имеющая размерность действия ML?/T (энергия X время). Другая размерная постоянная 7 входит во всеобщий закон притяжения Ньютона2) F = imm'/г2; другие такие постоянные входят в выражение для диаметра любой микрочастицы, и т. д. Таким образом, мы вынуждены безоговорочно признать, что мы не знаем таких сосновных единиц», по отношению к которым все известные нам физические законы не зависимы от выбора единиц3). В действительности выбор некоторых единиц как основных (или первичных), а всех остальных как производных (или вторичных) является делом соглашения и не вызван физической необходимостью. Так, иногда оказывается удобным считать силу не зависящей от массы, длины и времени4).
Физические постоянные. В предшествующих утверждениях необходимо сделать существенную оговорку. Универсальность «универсальных постоянных» может оказаться не абсолютной. Так, до открытия Ньютоном тяготения величина g должна была, по-видимому, считаться универсальной постоян-
