Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Биркгоф Г. -> "Гидродинамика. Методы. Факты. Подобие" -> 49

Гидродинамика. Методы. Факты. Подобие - Биркгоф Г.

Биркгоф Г. Гидродинамика. Методы. Факты. Подобие — М.: Иностранная литература, 1963. — 246 c.
Скачать (прямая ссылка): gidrodinamikametodipodobie1963.pdf
Предыдущая << 1 .. 43 44 45 46 47 48 < 49 > 50 51 52 53 54 55 .. 96 >> Следующая

Формула Колмогорова связана с известным парадоксом бесконечной плотности полной энергии турбулентности, приходящейся на единицу объема, в случае мощных пульсаций, но мы не будем рассматривать здесь объяснение этого парадокса.
§ 63. П-теорема
Не приводя больше примеров1), перейдем сразу к доказательству общей П-теоремы Вашй и Букингема, которую можно сформулировать следующим образом:
Теорема 2. Пусть положительные переменные Qj,..., Qr, при всех преобразованиях по формуле (1) основных единиц q\, ... ,qn изменяются согласно формуле (2). Пусть т^.п —
') Многочисленные примеры приводят Бриджмен П. [46], гл. I, VI; Седов Л. И. [57]; Лангхаар [65], Портер [54] н Робертсон Б. А.! Gen. Elec. Review, 33 (1930), 207; см. также Рэлей, Phil. Mag., 34 (1892) 59 и 8 (1905), 66, а также Nature, 95 (1915), 66.
128
Гл. IV. Моделирование и анализ размерностей
ранг матрицы |16<«,||, определяемой формулами (2). Тогда всякое не зависящее от выбора единиц соотношение вида
при подходящим образом выбранных безразмерных произведениях Пь ... , Пг-m степеней Qi.
Пояснение. Первая фраза соответствует предположениям
I и II из § 60. Предположения III и IVобобщены формулой (12).
Доказательство. Согласно определению, матрица ||6^П имеет неособый минор ') т-го порядка. Переставляя Q, и мы можем добиться того, чтобы в этот минор входили ЛИШЬ Qi, . . ., Qrn и • • •. Ят- (Физически это означает, что другие основные единицы не являются независимыми.) Тогда всякий вектор bj = (bji, ..., bjn) при j>m есть линейная комбинация bj = сj|bi + ... + cjmbm векторов blt ... , bm.
Теперь определим (г — т) новых безразмерных переменных П< формулами
очевидно, что в формуле (14) Q, = n._mQ'/i ... QcJm при j>m.
* * ffl В «октанте» Qi > 0, ..., Qr > 0 преобразование (2) независимых переменных взаимно однозначно в большом2). Поэтому по-отношение / = 0 эквивалентно (т. е. определяет то же самое геометрическое место) соотношению g = 0, и, следовательно, g — 0 также не зависит от выбора единиц. Но так как минор
матрицы H&ijll при г, / = 1..т неособый, то систему линейных
уравнений Ьц Igai + ... + Igam = lg Qt Для любых положительных Qi....................................................Qm при подходящем выборе можно разре-
шить относительно чисел а,, ..., ат. А так как соотношение g = 0 не зависит от выбора единиц, то определяемое им геометриче-
¦) Относительно свойств матриц, используемых здесь, см., например [451, гл. X, в частности, стр. 306 [или Г антмахер Ф. Р., Теерия матриц, М.—Л., 1950. — Прим. ред.]. Неособый минор т-го порядка — это квадратная подматрица порядка т, определитель которой не равен нулю.
2) В случае когда cjm — целые числа, это можно обобщить на другие октанты. Характер поведения на гиперплоскостях Qi = 0 более сложен; его исследовал Riabouchinsky D„ Comptes Rendus, 217 (1943), 220—223.
f(Qv Qr) = 0
(12)
эквивалентно условию вида
9(11,, .... Dr_J = 0
(13)
§ 64. Обсуждение доказательства
129
ское место одно и то же для всех Qi, ..Qm; следовательно, со» отношение (12) эквивалентно, например, зависимости
?№........nr_m) = g(l.......1; Ult ..., Пг_т) = 0.
Таким образом,теорема доказана.
Историческая справка. Имеются некоторые разногласия относительно авторства П-теоремы. Ваши1) получил этот результат в 1892 г., но он не сформулировал своих исходных допущений. Он указал использованный выше метод, но его рассуждения настолько загадочны, что никто не воспроизводил его доказательства. Букингем ({47], {48]) дал в 1914 г. первое доказательство П-теоремы, но только для частного случая, когда функцию f можно разложить в ряд Маклорена, и до недавних пор это было единственное общепринятое доказательство2). Недавно Рябушинский и А. Мартино-Лягард [52], разъяснив соображения Ваши, получили гораздо более общее доказательство 3).
Приведенное здесь доказательство дает возможность более отчетливо выявить ограничения, накладываемые на величины а< и Qj и показать используемый матричный аппарат4).
§ 64. Обсуждение доказательства
Если предположить, что функцию f можно разложить в ряд Маклорена, то можно дать другое алгебраическое доказательство П-теоремы, понять которое, быть может, легче. Мы приведем здесь это доказательство и некоторые связанные с ним результаты, чтобы полнее разъяснить понятие однородности по размерности. Прежде всего отметим следующие очевидные следствия из теоремы Эйлера об однородных функциях.
Лемма 1. Для функции /(Q), зависящей от положительных величин Qi, ..Qm, выполнение Эйлеровых условий однородности
df hf
____________________ <15)
') Vaschy A., Annales Tiligraphiques, 19 (1892), 25—28. Идеи Рябу-шинского получили развитие в ряде его работ (L’Aerophile, September, 19111 Comptes Rendus. 217 (1943), 205—208 и 225 (1947), 837—839).
*) Фактически Бриджмеи ([46] стр. 16) поставил вопрос о том, нельзя ли рассматривать функции более общего вида. Функция a(P,M,f) в определении Тейлора — Маккола из § 85 является безразмерной функцией, которую нельзя разложить в ряд Маклорена; см. также парадокс Ферри из § 16.
Предыдущая << 1 .. 43 44 45 46 47 48 < 49 > 50 51 52 53 54 55 .. 96 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed