Гидродинамика. Методы. Факты. Подобие - Биркгоф Г.
Скачать (прямая ссылка):
§ 72. Моделирование по числу Фруда и по числу кавитации
Инспекционный анализ можно также применять для получения законов моделирования явлений, в которых вязкость и
') [3], стр. 431; см. также § 28, где приведены аналогичные результаты.
*) Об использовании аэродинамических труб вместо гидродинамических см. Keller С., Escher Wyss News (1940). Гелий в условиях сверхтекучести (§ 20), по-видимому, не подходит,
144
Гл. IV. Моделирование и анализ размерностей
сжимаемость не играют существенной роли, но зато имеется «свободная поверхность», находящаяся под постоянным давлением. В частности, такие законы применимы к гравитационным волнам и к явлению кавитации в жидкостях. Справедлива следующая теорема.
Теорема 7. В однородном гравитационном поле интенсивности g Эйлеровы уравнения движения и краевые условия на твердых границах, а также условие безвихренности и условие на «свободной поверхности» р = const на границе сред жидкость — газ остаются неизменными при всех преобразованиях вида (22), оставляющих неизменным число Фруда Fr = WgL-
Доказательство. В силу теоремы 5, достаточно рассмотреть условие на свободной поверхности р = const, т. е. условие того, чтобы Vp был нормален к ограничивающей поверхности. Для доказательства умножим уравнения (23) на L/V2, как при выводе уравнений (28); мы получим безразмерное уравнение
Так как gi/g есть t'-й направляющий косинус интенснвности гравитационного поля и так как u(x, t) определяет Vp, то мы получаем динамическое подобие при пропорциональности дифференциалов коэффициента давления 2p/p0V2 (хотя и нет обычной пропорциональности величины 2p/p0V2), если только числа Fr будут равны.
Действительно, давление в окружающей среде Р — это обычное локальное атмосферное давление ра при моделировании гравитационных волн; при кавитационном моделировании нужно рассматривать также давление пара р». Это стало вполне ясно лишь в 1924 г., когда Тома ') ввел число кавитации
*) Thoma D., Experimental research in the field of water Power, Trans. First World Power Conf., T. 2 (1924), 536—551; см. также Taylor H. B., Moody L. F., Mech. Engineering, 44 (1922), 633—640. Явно это высказал L e r b s H. на стр. 290 в Hydromechanische probleme des schiffsantriebs, Hamburg; см. также Rossell H- E., Chapman L. B., Principles of naval architecture, Soc. Nav. Arch. Marine Eng., New York, 1947, t, 2, стр. 177,
д(р/?оу2)
дх'.
(31)
Dt'
(32)
§ 73. Моделирование по числу Маха
145
До этого считалось общепризнанным, что кавитация зависит от однородного безразмерного параметра
<32>>
входящего в уравнение (28), что непосредственно следует из обычного анализа размерностей ').
Полный инспекционный анализ вместе с предположением, что кавитация возникает самопроизвольно при р < р„, дает теоретическое обоснование для предпочтения формулы (32), ибо это предположение равнозначно постулированию разрывного уравнения состояния гл. III (14):
Р = Р0, если p>pv (33)
и
Р = Р„, если p=pv.
При заданных Р и р„ преобразование подобия (22) не изменяет соотношений (33) тогда и только тогда, когда оно не изменяет величину Q; доказательство аналогично доказательству
теоремы 7.
При моделировании можно оставить неизменными как гравитационные, так и кавитационные члены при линейном масштабе 1 : а, взяв для скорости масштаб 1 : Yя (одно и то же g) и изменяя Р таким образом, чтобы Р — р„ преобразовывалось в отношении 1 : а. Такое «моделирование по числу Фруда с понижением давления» сейчас широко используется при исследовании кавитации судовых винтов; может оказаться, что в таких моделях давлением пара нельзя пренебречь.
§ 73. Моделирование по числу Маха
Еще со времен опытов Робина (1747 г.) 2) известно, что со-
противление снаряда не пропорционально квадрату скорости; следовательно, ни один способ инерциального масштабирования не является приемлемым. В обозначениях примера 3 из § 61 Kd заметно возрастает вблизи скорости звука. Поэтому Kd обычно табулировали как функцию v.
Было признано с самого начала, что причиной этого является сжимаемость воздуха, но более рациональное табулирование Ко как функции числа Маха М относится лишь ко времени первой
') См. Lorain F., L’helice propulsive, Paris, 1932, стр. 129. В иск in g-ham Е., Jour. Am. Soc. Naval Eng., 48 (1936), 147—148; Taylor D. W, The speed and power of ships, 3-е издание (1943), стр. 17.
1) По поводу истории вопроса см. С г а п z [5J, стр, 44—45
146
Г л. IV. Моделирование и анализ размерностей
мировой войны. По логике вещей следует, что на дальность полета снарядов должна влиять не только плотность, что видно уже из выражения, определяющего Ко, но и температура воздуха. Однако явным образом это было впервые установлено, по-видимому, после первой мировой войны1).
Начиная примерно с 1935 г. в связи с созданием скоростных самолетов, аэродинамики стали интересоваться моделированием по числу Маха. Аэродинамические трубы, работающие при скорости 30 м/сек, можно использовать для воспроизведения условий полета со скоростями до 120 м/сек, если регулировать должным образом «эффективное» число Рейнольдса, но в них вовсе не сказывается влияние сжимаемости, которое проявляется при больших скоростях. Поэтому начиная с 1935 г. аэродинамики и баллистики объединили свои усилия для изучения сжимаемых течений.
