Гидродинамика. Методы. Факты. Подобие - Биркгоф Г.
Скачать (прямая ссылка):
Впервые законы моделирования при сохранении числа Маха для политропного уравнения состояния вывел Ланжевен (см. прим. на этой стр.) при помощи «инспекционного анализа» уравнений движения сжимаемого невязкого газа без учета сил тяжести. Мы изложим результаты Ланжевена в несколько обобщенном виде.
Обращаясь снова к теореме 5, мы видим, что уравнение неразрывности инвариантно относительно всех преобразований подобия. Очевидно также, что любое заданное уравнение состояния (30) не изменяется ни при каком преобразовании, которое не изменяет р и р в соответствующих точках. Стало быть, оно не изменяется, в частности, при преобразованиях
xt-> o.xit t-*at если р, р, и не изменяются. (34)
Инспекционный анализ указывает, что в уравнениях (23)слагаемые DulIDt = '2iukdiiildxk-\-duildt и dpfpdxt при преобразовании (34) оба умножаются на 1/а. В результате получаем теорему.
Теорема 8. Основные уравнения сжимаемого невязкого течения инвариантны относительно преобразования (34).
Как показано в гл. I, эти основные уравнения не определяют корректно поставленную краевую задачу. По меньшей мере не-
‘) D а г г i е и s G„ Mem. Art. Fran?aise, (1922), стр. 242; Н i 11 i а г Н. W., Dept. Sci. Res. Exp. Report RE 142/19 (1919). Darrieus утверждает, что изменение дальности полета по этой причине может составлять примерно 1%. Работа Ланжевена, цитируемая ниже, напечатана сразу после работы Darrieus, Обоснованность моделирования по числу Маха показал Buckingham [48], стр. 275—278. О практической стороне дела см. Kent R. Н., Mech. Eng., September J932,
§ 73. Моделирование по числу Маха
147
обходимо добавить к ним уравнения Рэнкина — Гюгонио для ударных волн (§ 14). Однако поскольку последние уравнения можно вывести из уравнения состояния и законов сохранения массы, количества движения и энергии — а эти законы не изменяются при любом преобразовании вида (34), —то произойдет соответствующее изменение масштаба и в уравнениях Рэнкина — Гюгонио.
Закон изменения масштаба (34) справедлив также в теории упругости, теории пластичности и в динамике взрывных процессов '); он назван законом Кранца. Вообще он справедлив всегда, когда тензор напряжений есть функция только от деформации и не зависит от ее скорости, и всякий раз, когда в некотором напряженном состоянии освобождается определенная (в расчете на единицу объема) химическая энергия, как это требуется в условиях Чепмена — Жуге ([6], § 87). Любопытно, что этот закон справедлив также в релятивистской механике жидкостей.
Некоторые авторы хотели с помощью частного инспекци-онного анализа обосновать моделирование по числу Маха. Пусть
скорость звука в невозмущенном потоке. Тогда, если пренебречь силами вязкости и тяжести и обозначить М = V/С, то соотношение (23) примет вид
Это дает следующее правдоподобное правило: моделирование при постоянном числе Маха, что для данного невозмущенного потока эквивалентно преобразованиям (34).
Однако в общем случае это правило оказывается ложным, если рассматривать различные газы (газы с разными уравнениями состояния (30)) или даже один и тот же газ, но при различных температурах и давлениях. Сравним, например, динамически подобные баротропные течения газа, у которых условия свободного потока отнесены к двум точкам на одной и той же адиабате. В силу уравнений (22), величины и и р всюду умножаются на постоянные множители. Поэтому в силу уравнения (35) grad р умножается на постоянный множитель а (а), где а — отношение плотностей в свободном потоке. Следовательно, если F(p)=p(p)—pf (pf — давление в свободном потоке), то F(ap)/F(p) = а(а) не зависит от р. Таким образом, для всех р, р, а справедливо F(ap)/F(p) = F(ap')/F( '). Но это, очевидно,
с= Vdp/dp обозначает локальную скорость звука, и пусть С—
(35)
') См. {10], стр. 195; Schardin Н., Comm. Pure Appl. Math., 7 (1954), 223-243.
148
Гл. IV. Моделирование и анализ размерностей
эквивалентно соотношению (16) из § 64. Отсюда по теореме 4 F(р) = kp'i и, следовательно, справедлива следующая теорема.
Теорема 9. Для того чтобы модели сжимаемых потоков по числу Маха были динамически подобны при любых условиях в невозмущенном потоке, уравнение состояния должно иметь специальный вид:
При этом достаточно, чтобы f было одним и тем же вдоль всех адиабатических кривых. Обобщение на неадиабатические течения очевидно.
Линеаризованное моделирование по Маху. Интересный пример аффинного моделирования дает линеаризованное приближение (Прандтля — Глауэрта) стационарного сжимаемого обтекания тонких тел, уже описанное в § 10—11.
Возмущение <р потенциала скоростей U = ах + <p(*, у, z) удовлетворяет дифференциальному уравнению [гл. I, (14*)]
В дозвуковом случае (М<1) оно эквивалентно уравнению V'2 ф = 0, где V'2 = д2/дх'2 + д2/ду2 + д2/дг2 и х' = лг/У1 —М2, в силу чего этот случай аффинным преобразованием сводится к случаю несжимаемого потока.
В сверхзвуковом случае (М > 1) мы подобным же образом приводим это уравнение к виду
что представляет собой волновое уравнение. В обоих случаях мы получаем при соответствующих числах Маха аффинно подобные течения для аффинно эквивалентных моделей. Случай звуковой скорости нужно рассматривать отдельно ([10], разд. 9.6).
