Гидродинамика. Методы. Факты. Подобие - Биркгоф Г.
Скачать (прямая ссылка):
Ясно, что математические уравнения можно проверить на инвариантность не только относительно «изменений масштаба», описываемых посредством соотношений (22), но и относительно многих других преобразований. Например, все уравнения физики инвариантны относительно переноса и поворота осей ко-
‘) В действительности мы имеем в виду ньютоновы системы координат, в которых верны законы движения Ньютона. Поскольку предположение об их существовании ставит вопрос о возможности динамического подобия, в этом определении имеется нечто от порочного круга.
(22)
(23)
§ 67. Связь с теорией групп
§ 67. Связь с теорией групп
137
ординат — известный принцип, который весьма существен при математическом исследовании большинства физических задач. В некоторых частных случаях можно воспользоваться инвариантностью относительно конформных и афинных преобразований (см.§ 74).
Вообще говоря, инспекционный анализ применим к любой группе преобразований ‘). Под группой преобразований мы разумеется, понимаем (см. прим. 1) на стр. 122) множество преобразований, содержащее тождественное и все обратные преобразования и произведения любых двух своих элементов.
Наше утверждение основывается на логической аксиоме, о которой шла речь в § 1, гипотеза (С) и в § 26, а именно: если гипотезы теории инвариантны относительно группы G, то инвариантны относительно G и их следствия2). Обратно, множество всех взаимно однозначных преобразований, оставляющих без изменения какую-либо систему уравнений, образует группу.
Самой важной группой в механике после «группы подобия» преобразований вида (22) является десятипараметрическая группа Галилея — Ньютона. Эта группа порождается трехпараметрической подгруппой S пространственных переносов
х\=*х t + ct [/=1,2,3]; (24)
однопараметрической подгруппой Т переносов отсчета времени
t' = t + c\ (25)
трехпараметрической подгруппой R поворотов пространства
К = 2 aikxk' (26)
где ||a<hll — наиболее общая квадратная ортогональная матрица третьего порядка, и трехпараметрической подгруппой М группы преобразований к осям, движущимся поступательно с постоянной скоростью
x'^xt — b't. (27)
Теперь легко проверить, что три закона движения Ньютона инвариантны относительно преобразований (24) — (27) и что эти
') Это было высказано Ehrenfest [61], стр. 2в\, но не привлекло внимания, так как она ие указала никаких приложений. Элементарные сведения о группах см. в [45], гл. VI; об ортогональных матрицах см. там же, гл. VIII. [См. также Курош А. Г., Теория групп. М.—Л., 1963; Мальцев А. И., Основы линейной алгебры. М.—Л., 1948. — Прим. ред.].
*) Это положениа хотя и широко используется математиками и физиками, редко формулируется явно; см., однако, Bouligand О., Thiorje 0ОДга1е de* Groupes, Paris, 1935, стр. 3,
138
Гл. IV. Моделирование и анализ размерностей
преобразования не изменяют определений таких физических параметров, как плотность, вязкость и т. д. (предполагается, что масса остается неизменной). Следовательно, теоретическая механика Ньютона инвариантна как относительно группы Гали-лея — Ньютона, так и относительно группы преобразований (22) динамического подобия. Этот принцип был подтвержден на опыте многими способами с очень большой точностью, за исключением тех случаев, когда скорости движения сравнимы со скоростью света ‘).
§ 68. Теория моделирования
Мы указали два основных преимущества инспекционного анализа: он дает нам возможность оправдать предположение
IV анализа размерностей, позволяя проверить инвариантность уравнений, определяющих данную краевую задачу, относительно преобразований (1); а также позволяет рассматривать «подобие» не только такого простого вида, как (1). Инспекционный анализ имеет и третье преимущество: он дает в принципе рациональный метод проверки справедливости предположения III.
Хотя, как мы видели, предположения I, II и IV, по-види-мому, в общем допустимы в механике жидкостей, с предположением III дело обстоит иначе. Кроме того, анализ размерностей не дает основания a priori решить вопрос о том, определяют ли переменные .........Q„ величину Q0 достаточно точно.
Так, Бриджмен2) замечает вскользь, что этот кардинальный вопрос «не может быть разрешен философом на кафедре», а его можно решить только на основе физического опыта. Мы проиллюстрируем это затруднение большим экспериментальным материалом.
Для того чтобы проверить справедливость предположения III с помощью инспекционного анализа, в принципе можно действовать следующим образом. Пусть известно, что некоторое течение жидкости можно приближенно рассчитать, решив соответствующую краевую задачу в смысле § 1. Тогда мсжно попросту проверить инвариантность дифференциальных уравнений и краевых условий относительно преобразований некоторой группы (скажем, преобразований (22)). Если они инвариантны и краевая задача корректно поставлена, то предположение III справедливо.
Таким образом, инспекционный анализ имеет то преимущество, что он укладывается в общую схему теоретической гидро-
') Кажущийся парадокс Дюбуа не янляется контрпримером: см. § 28. ) [46], стр. 13—14; см. там же, стр. 50.
